Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的動點，PC∥AB，點M是OP中點．

（1）求證：四邊形OBCP是平行四邊形；

（2）填空：

①當∠BOP＝　 　時，四邊形AOCP是菱形；

②連接BP，當∠ABP＝　 　時，PC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)①120°；②45°

【解析】

（1）由AAS證明△CPM≌△AOM，得出PC=OA，得出PC=OB，即可得出結(jié)論；
（2）①證出OA=OP=PA，得出△AOP是等邊三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可；
②由切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABP=∠OPB=45°即可．

（1）證明：∵PC∥AB，

∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．

∵點M是OP的中點，

∴OM＝PM，在△CPM和△AOM中，

，

∴△CPM≌△AOM（AAS），

∴PC＝OA．

∵AB是半圓O的直徑，

∴OA＝OB，

∴PC＝OB．

又PC∥AB，

∴四邊形OBCP是平行四邊形．

（2）解：①∵四邊形AOCP是菱形，

∴OA＝PA，

∵OA＝OP，

∴OA＝OP＝PA，

∴△AOP是等邊三角形，

∴∠A＝∠AOP＝60°，

∴∠BOP＝120°；

故答案為：120°；

②∵PC是⊙O的切線，

∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，

∵PC∥AB，

∴∠BOP＝90°，

∵OP＝OB，

∴△OBP是等腰直角三角形，

∴∠ABP＝∠OPB＝45°，

故答案為：45°．