【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A,B重合的動(dòng)點(diǎn),PC∥AB,點(diǎn)M是OP中點(diǎn).
(1)求證:四邊形OBCP是平行四邊形;
(2)填空:
①當(dāng)∠BOP= 時(shí),四邊形AOCP是菱形;
②連接BP,當(dāng)∠ABP= 時(shí),PC是⊙O的切線.
【答案】(1)見解析;(2)①120°;②45°
【解析】
(1)由AAS證明△CPM≌△AOM,得出PC=OA,得出PC=OB,即可得出結(jié)論;
(2)①證出OA=OP=PA,得出△AOP是等邊三角形,∠A=∠AOP=60°,得出∠BOP=120°即可;
②由切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠BOP=90°,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABP=∠OPB=45°即可.
(1)證明:∵PC∥AB,
∴∠PCM=∠OAM,∠CPM=∠AOM.
∵點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),
∴OM=PM,在△CPM和△AOM中,
,
∴△CPM≌△AOM(AAS),
∴PC=OA.
∵AB是半圓O的直徑,
∴OA=OB,
∴PC=OB.
又PC∥AB,
∴四邊形OBCP是平行四邊形.
(2)解:①∵四邊形AOCP是菱形,
∴OA=PA,
∵OA=OP,
∴OA=OP=PA,
∴△AOP是等邊三角形,
∴∠A=∠AOP=60°,
∴∠BOP=120°;
故答案為:120°;
②∵PC是⊙O的切線,
∴OP⊥PC,∠OPC=90°,
∵PC∥AB,
∴∠BOP=90°,
∵OP=OB,
∴△OBP是等腰直角三角形,
∴∠ABP=∠OPB=45°,
故答案為:45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AD上,過P作PF⊥AE于F,設(shè)PA=x.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使得以點(diǎn)P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似?若存在,請(qǐng)求出x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)探究:當(dāng)以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出x滿足的條件: .
備用圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD為⊙O的直徑,弦AE∥CD,連接BE交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作直線EP與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,使∠PED=∠C.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)求證:ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半徑為5,CF=2EF,求PD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知∠AOB,作圖.
步驟1:在OB上任取一點(diǎn)M,以點(diǎn)M為圓心,MO長(zhǎng)為半徑畫半圓,分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q;
步驟2:過點(diǎn)M作PQ的垂線交 于點(diǎn)C;
步驟3:畫射線OC.
則下列判斷:①=;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB,其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的頂點(diǎn)在⊙O上,BD是⊙O的直徑,延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E,連接AC、BD交于點(diǎn)F,作AH⊥CE,垂足為點(diǎn)H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求證:AH是⊙O的切線;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求證:CD=DH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,﹣9a),下列結(jié)論:①4a+2b+c>0;②5a﹣b+c=0;③若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有兩個(gè)根x1和x2,且x1<x2,則﹣5<x1<x2<1;④若方程|ax2+bx+c|=1有四個(gè)根,則這四個(gè)根的和為﹣4.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AB=8,AD=6,P、Q是對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于直線AD,AB的對(duì)稱點(diǎn)分別點(diǎn)E,F,點(diǎn)Q關(guān)于直線BC,CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)G、H.若由點(diǎn)E,F,G,H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形,則PQ的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣1,2)、B(3,6)在拋物線y=ax2+bx上
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,m)(m>2),直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作x軸的垂線,垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,連接FH、AE,求證:FH∥AE;
(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度;同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),QM=2PM,直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013年12月2日1時(shí)30分,中國(guó)于西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器送入軌道.2013年12月15日4時(shí)35分,“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器與“玉兔號(hào)”月球車分離,“玉兔號(hào)”月球車順利駛抵月球表面,留下了中國(guó)在月球上的第一個(gè)足跡.“玉兔號(hào)”月球車一共在月球上工作了972天,約23000小時(shí).將23000用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A. B. C. D.
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