Question

【題目】已知點(diǎn)A（﹣1，2）、B（3，6）在拋物線y=ax2+bx上

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；

(3)如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM=2PM，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x；(2)證明見解析；(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或秒時(shí)，QM=2PM．

【解析】

（1）（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx中確定解析式；

（2）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)的AF的解析式，與拋物線的解析式構(gòu)成方程組，解得G點(diǎn)坐標(biāo)，再通過(guò)證明三角形相似，得到同位角相等，兩直線平行；

（3）具體見詳解.

．解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，

，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x．

（2）證明：設(shè)直線AF的解析式為y=kx+m，

將點(diǎn)A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，

∴k=m﹣2，

∴直線AF的解析式為y=（m﹣2）x+m．

聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組，

，解得： 或 ，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，m2﹣m）．

∵GH⊥x軸，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，0）．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣x=x（x﹣1），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

過(guò)點(diǎn)A作AA′⊥x軸，垂足為點(diǎn)A′，如圖1所示．

∵點(diǎn)A（﹣1，2），

∴A′（﹣1，0），

∴AE=2，AA′=2．

∴ =1， = =1，

∴= ，

∵∠AA′E=∠FOH，

∴△AA′E∽△FOH，

∴∠AEA′=∠FHO，

∴FH∥AE．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b0，

將A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+3，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t﹣3，t），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，0）．

當(dāng)點(diǎn)M在線段PQ上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥x軸于點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)M作MM′⊥x軸于點(diǎn)M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示，

∵QM=2PM，

∴ =，

∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t﹣2， t）．

又∵點(diǎn)M在拋物線y=x2﹣x上，

∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），

解得：t=；

當(dāng)點(diǎn)M在線段QP的延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t﹣6，2t），

∵點(diǎn)M在拋物線y=x2﹣x上，

∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），

解得：t=．

綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒 或 時(shí)，QM=2PM．