【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng).
(1)如圖1,取點(diǎn)M(1,0),則點(diǎn)M到直線l:y=x﹣1的距離為多少?
(2)如圖2,點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=在第一象限上的一個(gè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥x軸,作PN⊥y軸,記P到直線MN的距離為d0,問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使d0=?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如圖3,若直線y=kx+m與拋物線y=x2﹣4x相交于x軸上方兩點(diǎn)A、B(A在B的左邊).且∠AOB=90°,求點(diǎn)P(2,0)到直線y=kx+m的距離最大時(shí),直線y=kx+m的解析式.
【答案】(1);(2)點(diǎn)P(,2)或(2,);(3)y=﹣2x+9
【解析】
(1)如圖1,設(shè)直線l:y=x﹣1與x軸,y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB,先求出點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo),可得OA=2,OB=1,AM=1,由勾股定理可求AB長(zhǎng),由銳角三角函數(shù)可求解;
(2)設(shè)點(diǎn)P(a,),用參數(shù)a表示MN的長(zhǎng),由面積關(guān)系可求a的值,即可求點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)A(a,a2﹣4a),點(diǎn)B(b,b2﹣4b),通過(guò)證明△AOC∽△BOD,可得ab﹣4(a+b)+17=0,由根與系數(shù)關(guān)系可求a+b=k+4,ab=﹣m,可得y=kx+1﹣4k=k(x﹣4)+1,可得直線y=k(x﹣4)+1過(guò)定點(diǎn)N(4,1),則當(dāng)PN⊥直線y=kx+m時(shí),點(diǎn)P到直線y=kx+m的距離最大,由待定系數(shù)法可求直線PN的解析式,可求k,m的值,即可求解.
解:(1)如圖1,設(shè)直線l:y=x﹣1與x軸,y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB,
∵直線l:y=x﹣1與x軸,y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)B,
∴點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,﹣1),且點(diǎn)M(1,0),
∴AO=2,BO=1,AM=OM=1,
∴AB===,
∵tan∠OAB=tan∠MAE=,
∴,
∴ME=,
∴點(diǎn)M到直線l:y=x﹣1的距離為;
(2)設(shè)點(diǎn)P(a,),(a>0)
∴OM=a,ON=,
∴MN==,
∵PM⊥x軸,PN⊥y軸,∠MON=90°,
∴四邊形PMON是矩形,
∴S△PMN=S矩形PMON=2,
∴×MN×d0=2,
∴×=4,
∴a4﹣10a2+16=0,
∴a1=2,a2=﹣2(舍去),a3=2,a4=﹣2(舍去),
∴點(diǎn)P(,2)或(2,),
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D,
設(shè)點(diǎn)A(a,a2﹣4a),點(diǎn)B(b,b2﹣4b),
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,且∠AOC+∠CAO=90°,
∴∠BOD=∠CAO,且∠ACO=∠BDO,
∴△AOC∽△BOD,
∴,
∴
∴ab﹣4(a+b)+17=0,
∵直線y=kx+m與拋物線y=x2﹣4x相交于x軸上方兩點(diǎn)A、B,
∴a,b是方程kx+m=x2﹣4x的兩根,
∴a+b=k+4,ab=﹣m,
∴﹣m﹣4(k+4)+17=0,
∴m=1﹣4k,
∴y=kx+1﹣4k=k(x﹣4)+1,
∴直線y=k(x﹣4)+1過(guò)定點(diǎn)N(4,1),
∴當(dāng)PN⊥直線y=kx+m時(shí),點(diǎn)P到直線y=kx+m的距離最大,
設(shè)直線PN的解析式為y=cx+d,
∴
解得
∴直線PN的解析式為y=x﹣1,
∴k=﹣2,
∴m=1﹣4×(﹣2)=9,
∴直線y=kx+m的解析式為y=﹣2x+9.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖①,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,M在DC上,M是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)DP+MP的值最小時(shí),在備用圖(答題卷上)中用尺規(guī)作出點(diǎn)P的位置,并直接寫出DP的長(zhǎng)是?
(2)如圖②,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)M是DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AM,作BP⊥AM于點(diǎn)P,連結(jié)DP,當(dāng)DP最小時(shí),在備用圖(答題卷上)中用尺規(guī)作出點(diǎn)P的位置,并直接寫出DP的長(zhǎng)是?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3……都是等腰Rt△,直角頂點(diǎn)P1(3,3),P2,P3……,均在直線y=﹣x+4上,設(shè)△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3……的面積分別為S1,S2,S3……則S2019的值為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ACB=∠DBC,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠ABC=∠DCBB.∠ABD=∠DCA
C.AC=DBD.AB=DC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AD運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線段D﹣O﹣C運(yùn)動(dòng),已知P、Q同時(shí)開始移動(dòng),當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí),P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=1秒時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P、Q之間的距離;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P、Q之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度,求t的值;
(3)若線段PQ的中點(diǎn)為M,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中;直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,連接OB,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),連接DE,作DF⊥DE,交OA于點(diǎn)F,連接EF.已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)如圖1,當(dāng)t=3時(shí),求DF的長(zhǎng).
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中,的大小是否發(fā)生變化?如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不變,請(qǐng)求出的值.
(3)連接AD,當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時(shí),求相應(yīng)的t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)、在雙曲線上,軸于,軸于點(diǎn),與交于點(diǎn),是的中點(diǎn).
(1)試判斷四邊形的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)若的面積為,求該雙曲線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求的值;
(2)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線,交直線于點(diǎn),交函數(shù)的圖象于點(diǎn).
①當(dāng)時(shí),求線段的長(zhǎng);
②若,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:
①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(﹣1,0);⑤當(dāng)1<x<4時(shí),有y2<y1,
其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤
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