【題目】在直角坐標系中,過原點O及點A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,連接OB,點D為OB的中點,點E是線段AB上的動點,連接DE,作DF⊥DE,交OA于點F,連接EF.已知點E從A點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動,設移動時間為t秒.
(1)如圖1,當t=3時,求DF的長.
(2)如圖2,當點E在線段AB上移動的過程中,的大小是否發(fā)生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出的值.
(3)連接AD,當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時,求相應的t的值.
【答案】(1)(2)不變,(3)t=或
【解析】
(1)當t=3時,點E為AB的中點,由三角形中位線定理得出DE∥OA,DE=OA=4,再由矩形的性質(zhì)證出DE⊥AB,得出∠OAB=∠DEA=90°,證出四邊形DFAE是矩形,得出DF=AE=3即可;
(2)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,證明四邊形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,由平行線得出比例式,,由三角形中位線定理得出DM=AB=3,DN=OA=4,證明△DMF∽△DNE,得出的值;
(3)作作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,若AD將△DEF的面積分成1:2的兩部分,設AD交EF于點G,則點G為EF的三等分點;
①當點E到達中點之前時,NE=3-t,由△DMF∽△DNE得:MF=(3-t),求出AF=4+MF=,得出G(,),求出直線AD的解析式為y=,把G(,)代入即可求出t的值;
②當點E越過中點之后,NE=t-3,由△DMF∽△DNE得:MF=,求出AF=4-MF=,得出G(,),代入直線AD的解析式y=求出t的值即可.
解:(1)當t=3時,點E為AB的中點,
∵A(8,0),C(0,6),
∴OA=8,OC=6,
∵點D為OB的中點,
∴DE∥OA,DE=OA=4,
∵四邊形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°,
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四邊形DFAE是矩形,
∴DF=AE=3;
(2)的大小不變;
理由:如圖2所示:作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
∵四邊形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴四邊形DMAN是矩形,
∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
∴,,
∵點D為OB的中點,
∴M、N分別是OA、AB的中點,
∴DM=AB=3,DN=OA=4,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDM=∠EDN,
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE,
∴.
(3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
若AD將△DEF的面積分成1:2的兩部分,
設AD交EF于點G,則點G為EF的三等分點;
①當點E到達中點之前時,如圖3所示,NE=3-t,
由△DMF∽△DNE得:MF=,
∴,
∵點G為EF的三等分點,
∴G(,),
設直線AD的解析式為y=kx+b,
把A(8,0),D(4,3)代入得:,
解得:,
∴直線AD的解析式為:,
把點G(,)代入得:;
②當點E越過中點之后,如圖4所示,NE=t-3,
由△DMF∽△DNE得:MF=,
∴,
∵點G為EF的三等分點,
∴G(,),
把點G代入直線AD的解析式,
解得:;
綜合上述,當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時,的值為或.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A(a,0)是x軸正半軸上一點,PA⊥x軸,點B坐標為(0,b)(b>0),動點M在y軸正半軸上B點上方的點,動點N在射線AP上,過點B作AB的垂線,交射線AP于點D,交直線MN于點Q,連結(jié)AQ,取AQ的中點為C.
(1)若a=2b,點D坐標為(m,n),求的值;
(2)當點Q在線段BD上時,若四邊形BQNC是菱形,面積為,求經(jīng)過點B,Q兩點的直線解析式;
(3)當點Q在射線BD上時,且a3,b1,若以點B,C,N,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求這個平行四邊形的周長.
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【題目】在如圖的正方形網(wǎng)格中,每一個小正方形的邊長均為1,已知格點△ABC的頂點A、C的坐標分別是(﹣2,0),(﹣3,3).
(1)請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標系.
(2)以點(﹣1,2)為位似中心,相似比為2,將△ABC放大為原來的2倍,得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1,使它與△ABC在位似中心的異側(cè),并寫出B1點坐標為 .
(3)線段BC與線段B1C1的關(guān)系為 .
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,,AD平分∠BAC,交BC于點D,點O在AB上,⊙O經(jīng)過A、D兩點,交AC于點E,交AB于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是2cm,E是弧AD的中點,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號)
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【題目】在平面直角坐標系中,點到直線的距離即為點到直線的垂線段的長.
(1)如圖1,取點M(1,0),則點M到直線l:y=x﹣1的距離為多少?
(2)如圖2,點P是反比例函數(shù)y=在第一象限上的一個點,過點P分別作PM⊥x軸,作PN⊥y軸,記P到直線MN的距離為d0,問是否存在點P,使d0=?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(3)如圖3,若直線y=kx+m與拋物線y=x2﹣4x相交于x軸上方兩點A、B(A在B的左邊).且∠AOB=90°,求點P(2,0)到直線y=kx+m的距離最大時,直線y=kx+m的解析式.
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【題目】一項工程,甲,乙兩公司合做,12天可以完成,共需付施工費102000元;如果甲,乙兩公司單獨完成此項工程,乙公司所用時間是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元.
(1)甲,乙兩公司單獨完成此項工程,各需多少天?
(2)若讓一個公司單獨完成這項工程,哪個公司的施工費較少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)(a,b為常數(shù),且)與反比例函數(shù)(m為常數(shù),且)的圖象交于點A(﹣2,1)、B(1,n).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié)OA、OB,求△AOB的面積;
(3)直接寫出當時,自變量x的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,⊙O的半徑為r(r>0).給出如下定義:若平面上一點P到圓心O的距離d,滿足,則稱點P為⊙O的“隨心點”.
(1)當⊙O的半徑r=2時,A(3,0),B(0,4),C(,2),D(,)中,⊙O的“隨心點”是 ;
(2)若點E(4,3)是⊙O的“隨心點”,求⊙O的半徑r的取值范圍;
(3)當⊙O的半徑r=2時,直線y=- x+b(b≠0)與x軸交于點M,與y軸交于點N,若線段MN上存在⊙O的“隨心點”,直接寫出b的取值范圍 .
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(﹣1,0)、B(3,0)兩點,且交y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是線段BC上的點(不與B、C重合),過M作MN∥y軸交拋物線于N,若點M的橫坐標為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長;
(3)在(2)的條件下,連接NB,NC,是否存在點M,使△BNC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說明理由.
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