Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為(1，0)，點D的坐標為(-3，0)，點B的坐標為(0，4)，已知點E(m，0)是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；

(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為；

（2）PG=－m2－m；

（3）m的值為-1或

【解析】試題分析：（1）將A（1，0），B（0，4）代入y=-x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，-m2-m+4），G（m，4），則PG=-m2-m+4-4=-m2-m，點P在直線BC上方時，故需要求出m的取值范圍；

（3）先由拋物線的解析式求出D（-3，0），則當點P在直線BC上方時，-2<m<0．再運用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=x+4，于是得出H（m， m+4）．當以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似時，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分兩種情況進行討論：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例關系式，進而求出m的值．

試題解析：

(1)解析式為

(2)∵E(m，0)，B(0，4)，PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P(m，－ m2－m+4)，G(m，4)，

∴PG=－m2－m+4－4=－m2－m；

(3)在(2)的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．

當點P在直線BC上方時，－3＜m＜0．

設直線BD的解析式為y=kx+4，

將D(－3，0)代入，得－3k+4=0，解得k=.

∴直線BD的解析式為y=x+4.∴H(m， m+4)．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么，即

由－3＜m＜0，解得m=－1.

②如果△PGB∽△DEH，那么，即 ,

由－3＜m＜0，解得m=．

綜上所述，在(2)的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為-1或．