Question

18．某網(wǎng)店嘗試用單價(jià)隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售一種商品，利用30天的時(shí)間銷售一種成本為10元/件的商品售后，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到此商品單價(jià)在第x天（x為正整數(shù)）銷售的相關(guān)信息，如表所示：

銷售量n（件）	n=50-x
銷售單價(jià)m（元/件）	當(dāng)1≤x≤20時(shí)，m=20+$\frac{1}{2}$x
	當(dāng)21≤x≤30時(shí)，m=10+$\frac{420}{x}$

（1）請計(jì)算第幾天該商品單價(jià)為25元/件？
（2）求網(wǎng)店銷售該商品30天里所獲利潤y（元）關(guān)于x（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）這30天中第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）分兩種情形分別代入解方程即可．
（2）分兩種情形寫出所獲利潤y（元）關(guān)于x（天）的函數(shù)關(guān)系式即可．
（3）分兩種情形根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．

解答 解：（1）分兩種情況
①當(dāng)1≤x≤20時(shí)，將m=25代入m=20+$\frac{1}{2}$x，解得x=10
②當(dāng)21≤x≤30時(shí)，25=10+$\frac{420}{x}$，解得x=28
經(jīng)檢驗(yàn)x=28是方程的解
∴x=28
答：第10天或第28天時(shí)該商品為25元/件．
（2）分兩種情況
①當(dāng)1≤x≤20時(shí)，y=（m-10）n=（20+$\frac{1}{2}$x-10）（50-x）=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500，
②當(dāng)21≤x≤30時(shí)，y=（10+$\frac{420}{x}$-10）（50-x）=$\frac{21000}{x}-420$
綜上所述：$y=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{x^2}+15x+500（1≤x≤20）\\ \frac{21000}{x}-420（21≤x≤30）\end{array}\right.$
（3）①當(dāng)1≤x≤20時(shí)
由y=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{1225}{2}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)x=15時(shí)，y最大值=$\frac{1225}{2}$，
②當(dāng)21≤x≤30時(shí)
由y=$\frac{21000}{x}$-420，可知y隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=21時(shí)，y最大值=$\frac{21000}{21}$-420=580元
∵$580＜\frac{1225}{2}$
∴第15天時(shí)獲得利潤最大，最大利潤為612.5元．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．