Question

3．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，對(duì)角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的一支上，分別過(guò)點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下結(jié)論：
①$\frac{AM}{CN}$=$\frac{|{k}_{1}|}{|{k}_{2}|}$；
②陰影部分面積是$\frac{1}{2}$（k₁+k₂）；
③當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，|k₁|=|k₂|；
④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①④
• B． ①③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 連接AC交OB于點(diǎn)D，則可知D為AC中點(diǎn)，從而可得到ON=OM，利用反比例函數(shù)k的幾何意義可分別表示出△CON和△AOM的面積，從而可判斷①②，當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，OA和OC不一定相等，從而|k₁|和|k₂|不一定相等，可判斷③，當(dāng)四邊形OABC是菱形時(shí)，可得到OA=OC，可證明△AOM≌△CON，可得到AM=CN，從而可判斷④，可得出答案．

解答 解：
如圖，連接AC，交OB于點(diǎn)D，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴D為AC的中點(diǎn)，
∵AM⊥x軸，CN⊥x軸
∴AM∥CN∥OD，
∴O為MN的中點(diǎn)，
∴ON=OM，
∴S_△AMO=$\frac{1}{2}$OM•AM，S_△CNO=$\frac{1}{2}$ON•CN，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的一支上，
∴S_△AMO=$\frac{1}{2}$|k₁|，S_△CNO=$\frac{1}{2}$|k₂|，
∴OM•AM=|k₁|，ON•CN=|k₂|，
∴$\frac{AM}{CN}$=$\frac{\frac{|{k}_{1}|}{OM}}{\frac{|{k}_{2}|}{ON}}$═$\frac{|{k}_{1}|}{|{k}_{2}|}$，
故①正確；
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴S_陰影=S_△AMO+S_△CNO=$\frac{1}{2}$|k₁|+|$\frac{1}{2}$|k₂|=$\frac{1}{2}$k₁-$\frac{1}{2}$k₂=$\frac{1}{2}$（k₁-$\frac{1}{2}$k₂），
故②不正確；
當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，OA≠OC，
∴CN≠AM，
∴$\frac{AM}{CN}$≠1，即|k₁|≠|(zhì)k₂|，
故③不正確；
當(dāng)四邊形OABC是菱形時(shí)，則OA=OC，
在Rt△AOM和Rt△CON中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴CN=AM，
∴|k₁|=|k₂|，
∴兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故④正確；
綜上可知正確的結(jié)論是①④，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有反比例函數(shù)中k的幾何意義、平行四邊形形的性質(zhì)、矩形菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)等．利用條件得出O是MN的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意兩雙曲線的反比例系數(shù)的符號(hào)．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．