Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，分別是上的點(diǎn)，，為垂足．

（1）如圖①， AF=BF，AE=2，點(diǎn)T是射線(xiàn)PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)，求AT的長(zhǎng)；

（2）如圖②，若，連接，求證：．

Answer 1

【答案】(1) 3或3或3;(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）解Rt△BAE，由tan∠ABE==，得出∠ABE=30°．然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)T在AB的上方，∠ATB=90°時(shí)，顯然點(diǎn)T和點(diǎn)P重合，易求AT=AP=AB=3；②當(dāng)點(diǎn)T在AB的下方，∠ATB=90°時(shí)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得TF=BF=AF=3，而∠BFT=60°，那么 △FTB是等邊三角形，TB=3，再根據(jù)勾股定理求出AT==3；

③當(dāng)點(diǎn)T在AB的下方，∠ABT=90°時(shí)．在Rt△ATB中利用勾股定理求出AT；

（2）先證明∠1=∠3=∠4，由tan∠1=，tan∠3=，得出=，等量代換得到=．再證明△PBC∽△PAF，得出∠5=∠6，進(jìn)而可得∠5+∠7=90°，即∠CPF=90°，那么CP⊥FP．

詳解：（1）在正方形ABCD中，可得∠DAB=90°．

∵在Rt△BAE中，tan∠ABE===，∴∠ABE=30°．

點(diǎn)T是射線(xiàn)PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)，分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)T在AB的上方，∠ATB=90°，顯然此時(shí)點(diǎn)T和點(diǎn)P重合，即AT=AP=AB=3；

②當(dāng)點(diǎn)T在AB的下方，∠ATB=90°，如圖①所示．

在Rt△APB中，由AF=BF，可得：AF=BF=PF=3，∴∠BPF=∠FBP=30°，∴∠BFT=60°．

在Rt△ATB中，TF=BF=AF=3，∴△FTB是等邊三角形，∴TB=3，AT==3；

③當(dāng)點(diǎn)T在AB的下方，∠ABT=90°時(shí)，如圖②所示．

在Rt△FBT中，∠BFT=60°，BF=3，BT=BFtan60°=3．

在Rt△ATB中：AT==3．

綜上所述：當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)，AT的長(zhǎng)為3或3或3；

（2）如圖③所示．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，AD∥BC，∠DAB=90°，∴∠3=∠4．

∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴∠1=∠3=∠4．

∵tan∠1=，tan∠3==．

∵AE=AF，AB=BC，∴=．

在△PBC和△PAF中，∵，∠4=∠1，∴△PBC∽△PAF，∴∠5=∠6．

∵∠6+∠7=90/span>°，∴∠5+∠7=90°，即∠CPF=90°，∴CP⊥FP．