【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過A(3,0),B(1,0),C(0,3)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸是直線l,l與x軸交于點(diǎn)H.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PBC周長的最小值;

(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)( E與A、D不重合),過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,ADF的面積為S.

求S與m的函數(shù)關(guān)系式;

S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo); 若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】解:(1)拋物線經(jīng)過A(-3,0),B(1,0),

可設(shè)拋物線交點(diǎn)式為。

拋物線經(jīng)過C(0,3),。

拋物線的解析式為:,即。

(2)∵△PBC的周長為:PB+PC+BC,且BC是定值。

當(dāng)PB+PC最小時(shí),PBC的周長最小。

點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱,

連接AC交l于點(diǎn)P,即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

AP=BP,∴△PBC的周長最小是:PB+PC+BC=AC+BC。

A(-3,0),B(1,0),C(0,3),AC=3,BC=。

∴△PBC的周長最小是:。

(3)①∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4),A(﹣3,0),

直線AD的解析式為y=2x+6

點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,E(m,2m+6),F(xiàn)(m,

。

S與m的函數(shù)關(guān)系式為。

,

當(dāng)m=﹣2時(shí),S最大,最大值為1,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,2)。

解析(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn),用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可。

(2)根據(jù)BC是定值,得到當(dāng)PB+PC最小時(shí),PBC的周長最小,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可。

(3)設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,表示出E(m,2m+6),F(xiàn)(m,),最后表示出EF的長,從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系,然后求二次函數(shù)的最值即可。

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