【題目】在平面直角坐標系中,點A(1,0),已知拋物線y=x2+mx﹣2m(m是常數(shù)),頂點為P.
(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時.
①求頂點P的坐標;
②設(shè)直線l:y=3x+1與拋物線交于B、C兩點,拋物線上的點M的橫坐標為n(﹣1≤n≤3),過點M作x軸的垂線,與直線l交于點Q,若MQ=d,當(dāng)d隨n的增大而減少時,求n的取值范圍.
(2)無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點H,當(dāng)∠AHP=45°時,求拋物線的解析式.
【答案】(1)①點P(﹣,﹣);②1≤n≤3;(2)拋物線的表達式為:y=x2﹣4x+8或或y=x2+4x﹣8或.
【解析】
(1)①將點A的坐標代入拋物線表達式可得m值,再根據(jù)拋物線表達式確定頂點P的坐標即可;
②畫出函數(shù)圖象,聯(lián)立拋物線與直線表達式可得點B、C坐標,易知點M的橫坐標為n(﹣1≤n≤3)時,圖象對應(yīng)的是BC之間的部分,設(shè)點M(n,n2+n﹣2),點Q(n,3n+1),可得d與n的關(guān)系式,可知其對稱軸為n=1,根據(jù)d的增減性可確定n的取值范圍;
(2)點P的坐標為:(﹣m,﹣m2﹣2m),由點A、H的坐標知,AH=,tanα=4;點P存在在AH左右兩側(cè)的情況,①當(dāng)點P在AH右側(cè)時,過點M作MR⊥AH于點R,設(shè)RM=4x=RH,則AR=x,根據(jù)AH=AR+RH可得x值,易知點M坐標,由點H、M坐標可得直線HM表達式,將點P坐標代入即可求出m值;②當(dāng)點P在AH左側(cè)時,同理求出點M坐標及直線HM的表達式,將點P坐標代入即可求出m值.
解:(1)①將點A(1,0)代入y=x2+mx﹣2m得,
解得
所以拋物線的表達式為y=x2+x﹣2,
點P(﹣,﹣);
②函數(shù)圖象如圖1所示,
聯(lián)立拋物線與直線表達式
得:
解得x=﹣1或3,
當(dāng)x=﹣1時,,
當(dāng)時,
所以點B、C的坐標分別為:(﹣1,﹣2)、(3,10),
故M的橫坐標為n(﹣1≤n≤3)時,圖象對應(yīng)的是BC之間的部分,
設(shè)點M(n,n2+n﹣2),點Q(n,3n+1),
d=QM=3n+1﹣n2﹣n+2=﹣n2+2n+3,函數(shù)的對稱軸為:n=1,
當(dāng)d隨n的增大而減少,n≥1,而﹣1≤n≤3,
故1≤n≤3.
(2)點P的坐標為:(﹣m,﹣m2﹣2m),
由點A、H的坐標知,AH=,tanα=4;點P存在在AH左右兩側(cè)的情況,如圖2所示;
①當(dāng)點P在AH右側(cè)時,如圖,
過點M作MR⊥AH于點R,∠AHP=45°,tanα=4,
設(shè):RM=4x=RH,則AR=x,
則AH=AR+RH=5x=,解得:x=,
則AM=x=,則點M(,0);
由H、M的坐標得直線HM的表達式為:y=﹣x+,
將點P的坐標代入上式并整理得:3m2+34m+88=0,解得:m=﹣4或﹣;
②當(dāng)點P在AH左側(cè)時,如圖,
同理可得:點M(5,0),
則直線HM的表達式為:y=x+,
將點P的坐標代入上式并整理得:7m2+48m+80=0,
解得:m=4或;
綜上,拋物線的表達式為:y=x2﹣4x+8或y=x2﹣x+或y=x2+4x﹣8或y=x2+x﹣.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=,D為AC上一點,DE⊥AB于點E,AC=12,BC=5.
(1)求的值;
(2)當(dāng)時,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】描點畫圖是探究未知函數(shù)圖象變化規(guī)律的一個重要方法.下面是通過描點畫圖感知函數(shù)y=圖象的變化規(guī)律的過程.
(1)下表是y與x的幾組對應(yīng)值,請完成表格.
x | ﹣1 | ﹣ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | 0 | 1 | … |
(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),在平面直角坐標系xOy中描出對應(yīng)的點,并用平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象;
(3)根據(jù)圖象,寫出兩條該函數(shù)所具有的性質(zhì):
性質(zhì)① ;
性質(zhì)② ;
(4)若直線y=x與該函數(shù)的圖象的交點A的橫坐標為a,直接比較a與的大小.
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【題目】圖1,菱形ABCD的頂點A,D在直線上,∠BAD=60°,以點A為旋轉(zhuǎn)中心將菱形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<30°),得到菱形AB′C′D′,B′C′交對角線AC于點M,C′D′交直線l于點N,連接MN.
(1)當(dāng)MN∥B′D′時,求α的大。
(2)如圖2,對角線B′D′交AC于點H,交直線l與點G,延長C′B′交AB于點E,連接EH.當(dāng)△HEB′的周長為2時,求菱形ABCD的周長.
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【題目】每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上,
①寫出A、B、C的坐標.
②以原點O為對稱中心,畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1,并寫出A1、B1、C1的坐標.
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【題目】如圖,將一矩形OABC放在平面直角坐標系中,O為原點,點B、C分別在x軸、y軸上,點A(4,3),點D為線段OC上一動點,將△BOD沿BD翻折,點O落在點E處,連接CE,則CE的最小值為______.
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【題目】某書店店主對書店銷售情況進行統(tǒng)計,店主根據(jù)一個月內(nèi)平均每天各銷售時間段內(nèi)的銷售量,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.
銷售情況扇形統(tǒng)計圖
銷售情況統(tǒng)計表
銷售時間段 | 銷售數(shù)量(本) |
16 | |
37 | |
12 | |
30 | |
合計 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)平均每天的銷售總量________,時間段每天的銷售數(shù)量___________.
(2)求出時間段所在扇形的圓心角的度數(shù).
(3)若該書店一年的銷量有32000本,請你估計時間段全年賣出多少本.
(4)若書店決定減少成本,同時保證銷量,決定在某時間段閉店,請你提出一條合理化的建議.
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【題目】某汽車經(jīng)銷商為了能更好的了解某季度純電動汽車的續(xù)航能力,現(xiàn)分兩次不重復(fù)的各抽取了10臺純電動車進行了續(xù)航里程的測試.并將測試的情況進行整理、描述和分析(續(xù)航里程用x表示,共分成四組:(A)100≤x<200,(B)200≤x<300,(C)300≤x<400,(D)x≥400,單位:km).下面給出了部分信息:
第一次抽取10臺車的續(xù)航里程在C組中的數(shù)據(jù)是:380,310,300,310.
第二次抽取10臺車的續(xù)航里程是:220,301,175,310,400,310,385,430,234,455.
第一次測試的續(xù)航里程扇形統(tǒng)計圖如圖
兩次測試的續(xù)航里程統(tǒng)計表
第一次 | 第二次 | |
平均里程 | 321.4 | b |
中位數(shù) | c | 310 |
眾數(shù) | 310 | 310 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)直接寫出上述圖表中a、b、c的值,a= ,b= ,c .
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認為這兩次測試中的哪一次的純電動汽車續(xù)航能力更強?請說明理由(一條理由即可).
(3)若經(jīng)銷商這一季度共購進1600臺純電動汽車,結(jié)合這兩次測試,估計這一季度續(xù)航能力較強(x≥380)的純電動汽車有多少輛?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交點為A(﹣3,0),與y軸交點為B,且與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點C(m,4)
(1)求m的值及一次函數(shù)y=kx+b的表達式;
(2)觀察函數(shù)圖象,直接寫出關(guān)于x的不等式x≤kx+b的解集;
(3)若P是y軸上一點,且△PBC的面積是8,直接寫出點P的坐標.
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