Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B（A左B右），與y軸交于C，直線y＝﹣x+5經過點B、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第二象限拋物線上一點，設點P橫坐標為m，點P到直線BC的距離為d，求d與m的函數解析式；

（3）在（2）的條件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+5（2）d＝m2﹣m（﹣2＜m＜0）（3）

【解析】

（1）首先求出B、C兩點坐標，再利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．只要證明△PEF是等腰直角三角形，想辦法求出PF（用m表示），即可解決問題；

（3）首先證明O、B、C、P四點共圓，推出∠CPB＝∠COB＝90°，可得PH＝BC＝，由P（m，﹣m2+m+5），H（，），可得（m﹣）2+（﹣m2+m+5﹣）2＝，解方程去m，再利用（2）中結論即可解決問題.

（1）∵直線y＝﹣x+5經過點B、C，

∴B（5，0），C（0，5），

把B、C坐標代入y＝﹣x2+bx+c得到： ，

解得，

∴二次函數的解析式為y＝﹣x2+x+5；

（2）如圖1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．

∵P（m，﹣m2+m+5），

∵PF∥AB，

∴點F的縱坐標為﹣m2+m+5，

則有﹣m2+m+5＝﹣x+5，

∴x＝m2﹣m，

∴PF＝m2﹣m﹣m＝m2﹣m，

∵OB＝OC，∠BOC＝90°，

∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴d＝PE＝PF＝m2﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）如圖2中，取BC的中點H，連接PH．

∵∠PCB+∠POB＝180°，

∴O、B、C、P四點共圓，

∴∠CPB＝∠COB＝90°，

∴PH＝BC＝，

∵P（m，﹣m2+m+5），H（，），

∴（m﹣）2+（﹣m2+m+5﹣）2＝，

整理得：m（m﹣5）（m2﹣m﹣2）＝0，

解得m＝0或5或﹣1或2，

∵P在第二象限，

∴m＝﹣1，

∴d＝m2﹣m＝．