【題目】已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6,點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí),將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE,設(shè)OD=m.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△CDE的形狀是 三角形.
(2)探究證明
如圖2,當(dāng)6<m<10時(shí),△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出△BDE周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)解決問題
是否存在m的值,使△DEB是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)等邊;(2)存在,當(dāng)6<t<10時(shí),△BDE的最小周長(zhǎng)2+4;(3)當(dāng)m=2或14時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結(jié)論;
(2)當(dāng)6<m<10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,于是得到結(jié)論;
(3)存在,①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形,
②當(dāng)0≤m<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m
③當(dāng)6<m<10時(shí),此時(shí)不存在;
④當(dāng)m>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到m=14.
(1)∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
故答案為:等邊;
(2)存在,當(dāng)6<t<10時(shí),
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂線段最短可知,當(dāng)CD⊥AB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,
此時(shí),
∴△BDE的最小周長(zhǎng)
(3)存在,①∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形,
∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),不符合題意,
②當(dāng)0≤m<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠CEB=30°,
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴m=2;
③當(dāng)6<m<10時(shí),由∠DBE=120°>90°,
∴此時(shí)不存在;
④當(dāng)m>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14,
∴m=14,
綜上所述:當(dāng)m=2或14時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,2),動(dòng)點(diǎn)D以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)向x軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)向y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E,過點(diǎn)E作x軸的平行線,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G,與AB相交于點(diǎn)F
(1)求∠OAB度數(shù);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ADEF為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)二次函數(shù)解析式;
(3)是否存在實(shí)數(shù)t,使△AGF為直角三角形?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AC是直徑,點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠DBC=∠BAC,.
(1)求證:BD是⊙O的切線;(2)求的值;(3)如圖,直徑AC=5,,求△ABF面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了科學(xué)建設(shè)“學(xué)生健康成長(zhǎng)工程”.隨機(jī)抽取了部分學(xué)生家庭對(duì)其家長(zhǎng)進(jìn)行了主題為“周末孩子在家您關(guān)心嗎?”的問卷調(diào)查,將回收的問卷進(jìn)行分析整理,得到了如下的樣本統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
代號(hào) | 情況分類 | 家庭數(shù) |
帶孩子玩并且關(guān)心其作業(yè)完成情況 | 16 | |
只關(guān)心其作業(yè)完成情況 | b | |
只帶孩子玩 | 8 | |
既不帶孩子玩也不關(guān)心其作業(yè)完成情況 | d |
(1)求的值;
(2)該校學(xué)生家庭總數(shù)為500,學(xué)校決定按比例在類家庭中抽取家長(zhǎng)組成培訓(xùn)班,其比例為類取20%,類各取60%,請(qǐng)你估計(jì)該培訓(xùn)班的家庭數(shù);
(3)若在類家庭中只有一個(gè)城鎮(zhèn)家庭,其余是農(nóng)村家庭,請(qǐng)用列舉法求出在類中隨機(jī)抽出2個(gè)家庭進(jìn)行深度采訪,其中有一個(gè)是城鎮(zhèn)家庭的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,點(diǎn)E在邊BC上,且BE=2CE,將矩形沿過點(diǎn)E的直線折疊,點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′,D′,折痕與邊AD交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)B,C′,D′恰好在同一直線上時(shí),AF的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,半徑OC垂直于弦AB,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)E在OC的延長(zhǎng)線上,∠EAC=∠BAC
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若AB=8,cosE=,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有以下六個(gè)命題,①同旁內(nèi)角互補(bǔ);②若x2=4,則x=2;③;④平分弦的直徑垂直于弦;⑤等弧所對(duì)的圓心角相等;⑥相等的圓心角所對(duì)的弧相等.從這六個(gè)命題中隨機(jī)任意抽取一個(gè)命題是真命題的概率為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過點(diǎn).
求k的值和拋物線的解析式;
為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn).
若以O,B,N,P為頂點(diǎn)的四邊形OBNP是平行四邊形時(shí),求m的值.
當(dāng) 時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了測(cè)量被池塘隔開的A,B兩點(diǎn)之間的距離,根據(jù)實(shí)際情況,作出如圖所示的圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于點(diǎn)D,C在BD上,有四位同學(xué)分別測(cè)量出以下四組數(shù)據(jù):①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù),求出A、B間距離的有( )
A. 4組B. 3組C. 2組D. 1組
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