【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6,點D是射線OM上的動點,當點D不與點A重合時,將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE,連接DE,設OD=m.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△CDE的形狀是 三角形.
(2)探究證明
如圖2,當6<m<10時,△BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出△BDE周長的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)解決問題
是否存在m的值,使△DEB是直角三角形?若存在,請直接寫出m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)等邊;(2)存在,當6<t<10時,△BDE的最小周長2+4;(3)當m=2或14時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
【解析】
(1)由旋轉的性質得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結論;
(2)當6<m<10時,由旋轉的性質得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質得到DE=CD,由垂線段最短得到當CD⊥AB時,△BDE的周長最小,于是得到結論;
(3)存在,①當點D與點B重合時,D,B,E不能構成三角形,
②當0≤m<6時,由旋轉的性質得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m
③當6<m<10時,此時不存在;
④當m>10時,由旋轉的性質得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到m=14.
(1)∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
故答案為:等邊;
(2)存在,當6<t<10時,
由旋轉的性質得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂線段最短可知,當CD⊥AB時,△BDE的周長最小,
此時,
∴△BDE的最小周長
(3)存在,①∵當點D與點B重合時,D,B,E不能構成三角形,
∴當點D與點B重合時,不符合題意,
②當0≤m<6時,由旋轉可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠CEB=30°,
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴m=2;
③當6<m<10時,由∠DBE=120°>90°,
∴此時不存在;
④當m>10時,由旋轉的性質可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14,
∴m=14,
綜上所述:當m=2或14時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與x軸,y軸分別交于點A(2,0),點B(0,2),動點D以1個單位長度/秒的速度從點A出發(fā)向x軸負半軸運動,同時動點E以個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)向y軸負半軸運動,設運動時間為t秒,以點A為頂點的拋物線經過點E,過點E作x軸的平行線,與拋物線的另一個交點為點G,與AB相交于點F
(1)求∠OAB度數(shù);
(2)當t為何值時,四邊形ADEF為菱形,請求出此時二次函數(shù)解析式;
(3)是否存在實數(shù)t,使△AGF為直角三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,AC是直徑,點D是AC延長線上一點,且∠DBC=∠BAC,.
(1)求證:BD是⊙O的切線;(2)求的值;(3)如圖,直徑AC=5,,求△ABF面積.
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【題目】某中學為了科學建設“學生健康成長工程”.隨機抽取了部分學生家庭對其家長進行了主題為“周末孩子在家您關心嗎?”的問卷調查,將回收的問卷進行分析整理,得到了如下的樣本統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖:
代號 | 情況分類 | 家庭數(shù) |
帶孩子玩并且關心其作業(yè)完成情況 | 16 | |
只關心其作業(yè)完成情況 | b | |
只帶孩子玩 | 8 | |
既不帶孩子玩也不關心其作業(yè)完成情況 | d |
(1)求的值;
(2)該校學生家庭總數(shù)為500,學校決定按比例在類家庭中抽取家長組成培訓班,其比例為類取20%,類各取60%,請你估計該培訓班的家庭數(shù);
(3)若在類家庭中只有一個城鎮(zhèn)家庭,其余是農村家庭,請用列舉法求出在類中隨機抽出2個家庭進行深度采訪,其中有一個是城鎮(zhèn)家庭的概率.
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【題目】在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,點E在邊BC上,且BE=2CE,將矩形沿過點E的直線折疊,點C,D的對應點分別為C′,D′,折痕與邊AD交于點F,當點B,C′,D′恰好在同一直線上時,AF的長為_____.
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【題目】如圖,在⊙O中,半徑OC垂直于弦AB,垂足為點D,點E在OC的延長線上,∠EAC=∠BAC
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若AB=8,cosE=,求CD的長.
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【題目】有以下六個命題,①同旁內角互補;②若x2=4,則x=2;③;④平分弦的直徑垂直于弦;⑤等弧所對的圓心角相等;⑥相等的圓心角所對的弧相等.從這六個命題中隨機任意抽取一個命題是真命題的概率為_____.
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【題目】如圖,直線與x軸交于點,與y軸交于點B,拋物線經過點.
求k的值和拋物線的解析式;
為x軸上一動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點.
若以O,B,N,P為頂點的四邊形OBNP是平行四邊形時,求m的值.
當 時,求m的值.
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【題目】為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據(jù)實際情況,作出如圖所示的圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于點D,C在BD上,有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù):①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根據(jù)所測數(shù)據(jù),求出A、B間距離的有( )
A. 4組B. 3組C. 2組D. 1組
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