Question

【題目】如圖，拋物線與直線分別相交于，兩點(diǎn)，且此拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，連接，．已知，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最大，并求出這個(gè)最大值；

（3）點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）時(shí)，取最大值為；（3）存在點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知：當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，可使的值最大，據(jù)此求解即可；

（3）先求得，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，這樣就把以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似問題轉(zhuǎn)化為以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似的問題，再分當(dāng)時(shí)與時(shí)兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將，代入得：

，解得：，

∴拋物線的解析式是；

（2）解方程組：，得，，

∵，∴

當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得，

當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，

∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值，即為的長，

如圖，過點(diǎn)作BE⊥x軸于點(diǎn)，則在中，由勾股定理得：，∴取最大值為；

易求得直線BC的解析式為：y=－x－3，拋物線的對稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）時(shí)，取最大值為；

（3）存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

在中，∵，∴，

在中，∵，∴，

∴，，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，

∵，，∴∽，

∵，

∴①當(dāng)時(shí)，∽，

∴，解得，，（舍去）

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)為；

②當(dāng)時(shí)，∽，

∴，解得（舍去），（舍去），

∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)；

綜上所述，存在點(diǎn)．