【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=8,BC=6,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度先沿CB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再沿BA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),以DP,DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=2時(shí),求PD的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),連結(jié)DE,求證:DE∥AP.

(3)如圖3,連結(jié)CD.

①當(dāng)點(diǎn)E恰好落在△ACD的邊上時(shí),求所有滿足要求的t值;

②記運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PEQD的面積為S,PEQD與△ACD的重疊部分面積為S1,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出t的取值范圍是 ______ .

【答案】(1)(2)證明見解析(3)①分三種情況討論:滿足要求的t的值為.②當(dāng)時(shí), t的取值范圍是t

【解析】(1)如圖1中,作DF⊥CA于F,

當(dāng)t=2時(shí),AP=2,DF=ADsinA=5×=3,

AF=ADcosA=5×=4,

∴PF=4-2=2,

PD===

(2)如圖2中,

在平行四邊形PEQD中,

∵PE∥DQ,

∴PE∥AD,

∵AD=DQ.PE=DQ,

∴PE=AD,

∴四邊形APED是平行四邊形,

∴DE∥AP.

(3)①分三種情況討論:

Ⅰ.當(dāng)點(diǎn)E在CA上時(shí),

DQ⊥CB(如圖3所示),

∵∠ACB=Rt∠,CD是中線,∴CD=BD,∴CQ=CB=3即:t=

Ⅱ.當(dāng)點(diǎn)E在CD上,且點(diǎn)Q在CB上時(shí) (如圖4所示),

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CA于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CB于點(diǎn)H,

易證Rt△PGE≌Rt△PHQ,∴PG=DH=4,

∴CG=4-t,GE=HQ=CQ-CH=2t-3,

∵CD=AD,∴∠DCA=∠DAC

∴在RtCEG中,tanECG===,t=

Ⅲ.當(dāng)點(diǎn)E在CD上,且點(diǎn)Q在AB上時(shí)(如圖5所示),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CA于點(diǎn)F,

∵CD=AD,∴∠CAD=∠ACD.

∵PE∥AD,∴∠CPE=∠CAD=∠ACD,∴PE=CE,

PF=PC=,PE=DQ=11-2t,

∴在RtPEF中,cosEPF===

t=

綜上所述,滿足要求的t的值為

②如圖6中,PE交CD于E′,作E′G′⊥AC于G′,EG⊥AC于G.

當(dāng)△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的時(shí),PE′:EE′=2:1,

由(Ⅱ)可知CG=4-t,GE=2t-3,

∴PG=8-t-(4-t)=4,

∵E′G′∥EG,

===,

PG=,E′G′=(2t-3),CG′=8-t-=-t

tanECG==,

解得t=

如圖7中,當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí),PE交CD于E′,作E′G′⊥AC于G′.

∵△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的,

∴PE′:EE′=2:1,

由Ⅲ可知,PG′=PC=4-t,PE′=DQ=(11-2t),

cosEPG==,

,

解得t=,

綜上所述,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出t的取值范圍是t

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1MN的長(zhǎng)為 ;

2如果點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等那么x的值是 ;

3數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離之和是8?若存在直接寫出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

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