【題目】如圖,直線y=x+3分別交 x軸、y軸于點A、C.P是該直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的一個交點,PBx軸于B,SABP=16.

(1)求證:AOC∽△ABP;

2)求點P的坐標;

3)設(shè)點Q與點P在同一個反比例函數(shù)的圖象上,且點Q在直線PB的右側(cè),QDx軸于D,BQDAOC相似時,求點Q的橫坐標.

【答案】1)證明見解析;(2)點P的坐標為(2,4);(3)點Q的橫坐標為:.

【解析】

1)利用PBOC,即可證明三角形相似;

2)由一次函數(shù)解析式,先求點AC的坐標,由△AOC∽△ABP,利用線段比求出BPAB的值,從而可求出點P的坐標即可;

3)把P坐標代入求出反比例函數(shù),設(shè)Q點坐標為(n,),根據(jù)△BQD與△AOC相似分兩種情況,利用線段比聯(lián)立方程組求出n的值,即可確定出Q坐標.

1)證明:∵PB⊥ x軸,OC⊥x軸,

∴OC∥PB,

∴△AOC∽△ABP;

2)解:對于直線y=x+3,

x=0,得y=3;

y=0,得x=-6

A(-6,0),C(0,4)

OA=6,OC=3.

∵△AOC∽△ABP,

,

SABP=16SAOC=,

,即

PB=4,AB=8,

OB=2,

∴點P的坐標為:(24).

3)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為:y=,

P(2,4)代入,得k=xy=2×4=8

y=.

Q在雙曲線上,可設(shè)點Q的坐標為:(n,(n2),

BD=,QD=,

①當BQD∽△ACO時,

,

整理得:

解得:;

②當BQD∽△CAO時,,

,

整理得:,

解得:,(舍去),

綜上①②所述,點Q的橫坐標為:1+1+.

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