Question

【題目】拋物線C1：y＝ax2﹣x+2（a＞0）與x軸交于A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖1，若A（2，0），連AC、BC．

①直接寫(xiě)出C1的解析式及△ABC的面積；

②將△AOC繞某一點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△A′O′C′（其中A、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、O′、C′）．若旋轉(zhuǎn)后的△A′O′C′恰有一邊的兩個(gè)端點(diǎn)落在拋物線C1的圖象上，求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；

（2）如圖2，平移拋物線C1使平移后的新拋物線C2頂點(diǎn)在原點(diǎn)，P（，0）是x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)P作直線交C2的圖象于A、B，過(guò)A的直線y＝x+b交C2于點(diǎn)C，過(guò)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為n，試判斷an是否為定值？若是，求這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣x+2，2；②A′（6，2）；（2）an為定值，an＝．

【解析】

（1）①將A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），可得拋物線C1的解析式為：y＝x2﹣x+2（a＞0），求出C（0，2），OC＝2B（4，0），AB＝4﹣2＝2，所以S△ABC＝ABOC＝×2×2＝2；

②若C'、Q'在拋物線C1上，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣，可得O'（3，﹣），A'（3，）；若C'、A'在拋物線C1上，設(shè)C'（t，﹣t+2），則A'（t+2，﹣t +4），將A'代入C1解得t＝4，A′（6，2）；

（2）平移后的新拋物線C2的解析式為：y＝ax2，設(shè)AP的直線解析式為y＝k（x﹣），聯(lián)立，ax2﹣kx+＝0，xA+xB＝，xAxB＝，xAxB＝（xA+xB），聯(lián)立，ax2﹣x﹣b＝0，xA+xC＝，xC＝﹣xA，直線BC的解析式為y＝px+q，聯(lián)立，ax2﹣px﹣q＝0，xB+xC＝，xBxC＝﹣，可得xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，由①②可得q＝，將M代入y＝px+q，求得an＝．

解：（1）①將A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），

得：0＝4a﹣3+2，解得：a＝，

∴拋物線C1的解析式為：y＝x2﹣x+2（a＞0）

令x＝0，得y＝2，

∴C（0，2），OC＝2

令y＝0，得x2﹣x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝4，

∴B（4，0），

∴AB＝4﹣2＝2

∴S△ABC＝ABOC＝×2×2＝2；

②若C'、Q'在拋物線C1上，

∵C'O'＝CO＝2，

∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣，

∴O'（3，﹣），

∴A'（3，）；

若C'、A'在拋物線C1上，設(shè)C'（t，﹣t+2），則A'（t+2，﹣t+4），

將A'代入C1得：（t+2）2﹣（t+2）+2＝﹣t+4，

解得t＝4，

∴A′（6，2）；

（2）∵平移后的新拋物線C2頂點(diǎn)在原點(diǎn)，∴平移后的新拋物線C2的解析式為：y＝ax2，

設(shè)AP的直線解析式為y＝k（x﹣），

聯(lián)立，ax2﹣kx+＝0，

∴xA+xB＝，xAxB＝，

∴xAxB＝（xA+xB），

聯(lián)立，ax2﹣x﹣b＝0，

∴xA+xC＝，xC＝﹣xA，

設(shè)直線BC的解析式為y＝px+q，聯(lián)立，ax2﹣px﹣q＝0，

∴xB+xC＝，xBxC＝﹣，

∴xB+（﹣xA）＝，

∴xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，

由①②可得q＝，將M代入y＝px+q，

∴n＝q+＝，

∴an＝．