【題目】拋物線C1:y=ax2﹣x+2(a>0)與x軸交于A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1,若A(2,0),連AC、BC.
①直接寫(xiě)出C1的解析式及△ABC的面積;
②將△AOC繞某一點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△A′O′C′(其中A、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、O′、C′).若旋轉(zhuǎn)后的△A′O′C′恰有一邊的兩個(gè)端點(diǎn)落在拋物線C1的圖象上,求點(diǎn)A′的坐標(biāo);
(2)如圖2,平移拋物線C1使平移后的新拋物線C2頂點(diǎn)在原點(diǎn),P(,0)是x軸正半軸上一點(diǎn),過(guò)P作直線交C2的圖象于A、B,過(guò)A的直線y=x+b交C2于點(diǎn)C,過(guò)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為n,試判斷an是否為定值?若是,求這個(gè)定值,若不是,說(shuō)明理由.
【答案】(1)①y=x2﹣x+2,2;②A′(6,2);(2)an為定值,an=.
【解析】
(1)①將A(2,0)代入y=ax2﹣x+2(a>0),可得拋物線C1的解析式為:y=x2﹣x+2(a>0),求出C(0,2),OC=2B(4,0),AB=4﹣2=2,所以S△ABC=ABOC=×2×2=2;
②若C'、Q'在拋物線C1上,當(dāng)x=3時(shí),y=﹣,可得O'(3,﹣),A'(3,);若C'、A'在拋物線C1上,設(shè)C'(t,﹣t+2),則A'(t+2,﹣t +4),將A'代入C1解得t=4,A′(6,2);
(2)平移后的新拋物線C2的解析式為:y=ax2,設(shè)AP的直線解析式為y=k(x﹣),聯(lián)立,ax2﹣kx+=0,xA
解:(1)①將A(2,0)代入y=ax2﹣x+2(a>0),
得:0=4a﹣3+2,解得:a=,
∴拋物線C1的解析式為:y=x2﹣x+2(a>0)
令x=0,得y=2,
∴C(0,2),OC=2
令y=0,得x2﹣x+2=0,解得:x1=2,x2=4,
∴B(4,0),
∴AB=4﹣2=2
∴S△ABC=ABOC=×2×2=2;
②若C'、Q'在拋物線C1上,
∵C'O'=CO=2,
∴當(dāng)x=3時(shí),y=﹣,
∴O'(3,﹣),
∴A'(3,);
若C'、A'在拋物線C1上,設(shè)C'(t,﹣t+2),則A'(t+2,﹣t+4),
將A'代入C1得:(t+2)2﹣(t+2)+2=﹣t+4,
解得t=4,
∴A′(6,2);
(2)∵平移后的新拋物線C2頂點(diǎn)在原點(diǎn),∴平移后的新拋物線C2的解析式為:y=ax2,
設(shè)AP的直線解析式為y=k(x﹣),
聯(lián)立,ax2﹣kx+=0,
∴xA+xB=,xAxB=,
∴xAxB=(xA+xB),
聯(lián)立,ax2﹣x﹣b=0,
∴xA+xC=,xC=﹣xA,
設(shè)直線BC的解析式為y=px+q,聯(lián)立,ax2﹣px﹣q=0,
∴xB+xC=,xBxC=﹣,
∴xB+(﹣xA)=,
∴xB﹣xA=①,xB(﹣xA)=﹣,xB﹣xA=﹣2q②,
由①②可得q=,將M代入y=px+q,
∴n=q+=,
∴an=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)了正多邊形之后,小馬同學(xué)發(fā)現(xiàn)利用對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等方法可以計(jì)算等分正多邊形面積的方案.
(1)請(qǐng)聰明的你將下面圖①、圖②、圖③的等邊三角形分別割成2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)全等三角形;
(2)如圖④,等邊△ABC邊長(zhǎng)AB=4,點(diǎn)O為它的外心,點(diǎn)M、N分別為邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且∠MON=120°,若四邊形BMON的面積為s,它的周長(zhǎng)記為l,求最小值;
(3)如圖⑤,等邊△ABC的邊長(zhǎng)AB=4,點(diǎn)P為邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)Q為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn),且∠PDQ=120°,若PA=x,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示△BDQ的面積S△BDQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,且∠BEF=90°,延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:△ABE∽△EGB.
(2)若AB=4,求CG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC內(nèi)接于⊙O,CA=CB,過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC,交⊙O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,已知AB=6,BE=3.
(1)求證:四邊形ABCD為平行四邊形;
(2)延長(zhǎng)AO交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司共有三個(gè)部門(mén),根據(jù)每個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)和相應(yīng)每人所創(chuàng)的年利潤(rùn)繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表和扇形圖.
各部門(mén)人數(shù)及每人所創(chuàng)年利潤(rùn)統(tǒng)計(jì)表
部門(mén) | 員工人數(shù) | 每人所創(chuàng)的年利潤(rùn)/萬(wàn)元 |
A | 5 | 10 |
B | 8 | |
C | 5 |
(1)①在扇形圖中,C部門(mén)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為_(kāi)__________;
②在統(tǒng)計(jì)表中,___________,___________;
(2)求這個(gè)公司平均每人所創(chuàng)年利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具,進(jìn)價(jià)為20元,試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí),每天的銷(xiāo)售量為250件,銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元,每天的銷(xiāo)售量就減少10件
(1)寫(xiě)出商場(chǎng)銷(xiāo)售這種文具,每天所得的銷(xiāo)售利潤(rùn)(元)與銷(xiāo)售單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí),該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大;
(3)商場(chǎng)的營(yíng)銷(xiāo)部結(jié)合上述情況,提出了A、B兩種營(yíng)銷(xiāo)方案
方案A:該文具的銷(xiāo)售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元;
方案B:每天銷(xiāo)售量不少于10件,且每件文具的利潤(rùn)至少為25元
請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高,并說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市從 2018 年 1 月 1 日開(kāi)始,禁止燃油助力車(chē)上路,于是電動(dòng)自 行車(chē)的市場(chǎng)需求量日漸增多.某商店計(jì)劃最多投入 8 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn) A、B 兩種型號(hào)的 電動(dòng)自行車(chē)共 30 輛,其中每輛 B 型電動(dòng)自行車(chē)比每輛 A 型電動(dòng)自行車(chē)多 500 元.用 5 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)的 A 型電動(dòng)自行車(chē)與用 6 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)的 B 型電動(dòng)自行車(chē)數(shù)量一 樣.
(1)求 A、B 兩種型號(hào)電動(dòng)自行車(chē)的進(jìn)貨單價(jià);
(2)若 A 型電動(dòng)自行車(chē)每輛售價(jià)為 2800 元,B 型電動(dòng)自行車(chē)每輛售價(jià)為 3500 元,設(shè)該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn) A 型電動(dòng)自行車(chē) m 輛,兩種型號(hào)的電動(dòng)自行車(chē)全部銷(xiāo)售 后可獲利潤(rùn) y 元.寫(xiě)出 y 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)該商店如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)?此時(shí)最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;
(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ACPB的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD,BE
(1)求證:CE=AD
(2)當(dāng)點(diǎn)D在AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明理由
(3)若D為AB的中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?說(shuō)明理由.
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