【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BEF=∠DBC,∠BDC=2∠DEF,
(1)求證:BD=BE;
(2)如圖2,在(1)的下,EF⊥BC,BE=8,DG=5,求CD的長;
(3)在(2)的條件下,如圖3,過點(diǎn)C作CM⊥CB交BD的延長線于M,過點(diǎn)B作∠NBC=∠MBC,連接MN,且△BMN的面形為45,求BN的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)CD=3;(3)BN=15,
【解析】
(1)證明∠BDE=∠BED,根據(jù)等角對等邊得出結(jié)論;
(2)作兩條垂線段,證明△BEF≌△NBD和△BGF≌△DNC,進(jìn)而判斷出△BFG≌△DHC即可得出CD=3,
(3)先用射影定理求出DM==,BM=BD+DM=,CM==,進(jìn)而得出BH=BM=,MH=2CM=,再用S△BMN=S△BMH+S△MNH得出NI,進(jìn)而用△BCH∽△NIH,得出,即求出NH=,即可得出結(jié)論.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵∠BEF=∠DBC,
∴∠EFB=∠BDC,
設(shè)∠DEF=x,∠EDB=y,∠BEF=z,
在△EGD和△BGF中,x+y=z+2x,即y=x+z,即∠BDE=∠BED,
∴BD=BE,
(2)如圖2,過D作DH⊥BC,
∵EF⊥BC,
∴∠BFE=∠DHB=90°
由(1)知:BE=BD,
∵∠BEF=∠DBC,∠EFB=∠DHB=90°,
∴△BEF≌△BDH(AAS),
∴BF=DH,∠EBF=∠BDH,
∵∠ABC=∠ACB,∠BEF+∠ABC=90°,.
∴∠BEF+∠ACB=90°,
∵∠BEF=∠DBC,
∴∠DBC+∠ACB=90°
∴∠BDC=90°,
∴∠BDH+∠CDH=90°,
∴∠FBG=∠HDC,
∵∠BFG=∠DHC,BF=DH,
∴△BFG≌△DHC(ASA),
∴CD=BG=BD﹣DG=3;
(3)如圖3,由(2)知,CD=3,∠BDC=90°,
∴BC=,
在Rt△BCM中,CD⊥BM,
∴DM==,
∴BM=BD+DM=,CM==,
延長MC交BN于H,
∵∠NBC=∠MBC,BC⊥MH,
∴BH=BM=,MH=2CM=,
過點(diǎn)N作NI⊥MH交MH延長線于I,
∵△BMN的面形為45
∴NI=,
∵△BCH∽△NIH,
∴,
∴,
∴NH=,
∴BN=BH+NH==15,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了豐富學(xué)生的校園生活,準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球.其中籃球的單價比足球的單價多40元,用1500元購進(jìn)的籃球個數(shù)與900元購進(jìn)的足球個數(shù)相等.
(1)籃球和足球的單價各是多少元?
(2)該校打算用1000元購買籃球和足球,問恰好用完1000元,并且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形中,是的平分線,為上一點(diǎn),以為一邊且在下方作等邊三角形,連接.
(1)求證:≌;
(2)求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB,以O為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交OA,OB于F,E兩點(diǎn),再分別以E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線OP,過點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D.
(1)若∠OFD=116°,求∠DOB的度數(shù);
(2)若FM⊥OD,垂足為M,求證:△FMO≌△FMD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,BC平分∠ABE,BE∥AC,∠ADB=60°,∠CAD=2∠BDE,AB=14,BD=16,BE=4,則CD=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,、分別是、軸上兩點(diǎn),其中與互為相反數(shù).點(diǎn)是第二象限內(nèi)一點(diǎn),且,點(diǎn)是直線上一動點(diǎn);
(1)若,且是等腰三角形,求的度數(shù);
(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動過程中,當(dāng)最短時,求的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)有兩點(diǎn)E、F滿足AE=1,EF=FC=3,AE⊥EF,CF⊥EF,則正方形ABCD的邊長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),直線11經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)F,直線l1與直線l2:y=2x相交于點(diǎn)A.
(1)求直線l1的表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)求△AOE的面積;
(4)當(dāng)點(diǎn)P是直線l1上的一個動點(diǎn)時,過點(diǎn)P作y軸的平行線PB交直線l2于點(diǎn)B,當(dāng)線段PB=3時,請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知矩形的邊長,,點(diǎn)是邊上的一動點(diǎn)不同于、,是邊上的任意一點(diǎn),連接、,過作交于,作交于.設(shè)的長為,則的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是( )
A. B.
C. . D.
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