【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BEF=∠DBC,∠BDC=2∠DEF,
(1)求證:BD=BE;
(2)如圖2,在(1)的下,EF⊥BC,BE=8,DG=5,求CD的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥CB交BD的延長(zhǎng)線于M,過(guò)點(diǎn)B作∠NBC=∠MBC,連接MN,且△BMN的面形為45,求BN的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)CD=3;(3)BN=15,
【解析】
(1)證明∠BDE=∠BED,根據(jù)等角對(duì)等邊得出結(jié)論;
(2)作兩條垂線段,證明△BEF≌△NBD和△BGF≌△DNC,進(jìn)而判斷出△BFG≌△DHC即可得出CD=3,
(3)先用射影定理求出DM==
,BM=BD+DM=
,CM=
=
,進(jìn)而得出BH=BM=
,MH=2CM=
,再用S△BMN=S△BMH+S△MNH得出NI,進(jìn)而用△BCH∽△NIH,得出
,即求出NH=
,即可得出結(jié)論.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵∠BEF=∠DBC,
∴∠EFB=∠BDC,
設(shè)∠DEF=x,∠EDB=y,∠BEF=z,
在△EGD和△BGF中,x+y=z+2x,即y=x+z,即∠BDE=∠BED,
∴BD=BE,
(2)如圖2,過(guò)D作DH⊥BC,
∵EF⊥BC,
∴∠BFE=∠DHB=90°
由(1)知:BE=BD,
∵∠BEF=∠DBC,∠EFB=∠DHB=90°,
∴△BEF≌△BDH(AAS),
∴BF=DH,∠EBF=∠BDH,
∵∠ABC=∠ACB,∠BEF+∠ABC=90°,.
∴∠BEF+∠ACB=90°,
∵∠BEF=∠DBC,
∴∠DBC+∠ACB=90°
∴∠BDC=90°,
∴∠BDH+∠CDH=90°,
∴∠FBG=∠HDC,
∵∠BFG=∠DHC,BF=DH,
∴△BFG≌△DHC(ASA),
∴CD=BG=BD﹣DG=3;
(3)如圖3,由(2)知,CD=3,∠BDC=90°,
∴BC=,
在Rt△BCM中,CD⊥BM,
∴DM==
,
∴BM=BD+DM=,CM=
=
,
延長(zhǎng)MC交BN于H,
∵∠NBC=∠MBC,BC⊥MH,
∴BH=BM=,MH=2CM=
,
過(guò)點(diǎn)N作NI⊥MH交MH延長(zhǎng)線于I,
∵△BMN的面形為45
∴NI=
,
∵△BCH∽△NIH,
∴,
∴,
∴NH=,
∴BN=BH+NH==15,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了豐富學(xué)生的校園生活,準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球.其中籃球的單價(jià)比足球的單價(jià)多40元,用1500元購(gòu)進(jìn)的籃球個(gè)數(shù)與900元購(gòu)進(jìn)的足球個(gè)數(shù)相等.
(1)籃球和足球的單價(jià)各是多少元?
(2)該校打算用1000元購(gòu)買籃球和足球,問(wèn)恰好用完1000元,并且籃球、足球都買有的購(gòu)買方案有哪幾種?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形中,
是
的平分線,
為
上一點(diǎn),以
為一邊且在
下方作等邊三角形
,連接
.
(1)求證:≌
;
(2)求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB,以O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交OA,OB于F,E兩點(diǎn),再分別以E,F為圓心,大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線OP,過(guò)點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D.
(1)若∠OFD=116°,求∠DOB的度數(shù);
(2)若FM⊥OD,垂足為M,求證:△FMO≌△FMD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,BC平分∠ABE,BE∥AC,∠ADB=60°,∠CAD=2∠BDE,AB=14,BD=16,BE=4,則CD=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,、
分別是
、
軸上兩點(diǎn),其中
與
互為相反數(shù).點(diǎn)
是第二象限內(nèi)一點(diǎn),且
,點(diǎn)
是直線
上一動(dòng)點(diǎn);
(1)若,且
是等腰三角形,求
的度數(shù);
(2)點(diǎn)在直線
上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)
最短時(shí),求
的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)有兩點(diǎn)E、F滿足AE=1,EF=FC=3,AE⊥EF,CF⊥EF,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),直線11經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)F,直線l1與直線l2:y=2x相交于點(diǎn)A.
(1)求直線l1的表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)求△AOE的面積;
(4)當(dāng)點(diǎn)P是直線l1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PB交直線l2于點(diǎn)B,當(dāng)線段PB=3時(shí),請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知矩形的邊長(zhǎng)
,
,點(diǎn)
是
邊上的一動(dòng)點(diǎn)
不同于
、
,
是
邊上的任意一點(diǎn),連接
、
,過(guò)
作
交
于
,作
交
于
.設(shè)
的長(zhǎng)為
,則
的面積
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式是( )
A. B.
C. . D.
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