【題目】拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2)兩點,與y軸交于點C.

(1)設AB=2,tanABC=4,求該拋物線的解析式;

(2)在(1)中,若點D為直線BC下方拋物線上一動點,當BCD的面積最大時,求點D的坐標;

(3)是否存在整數(shù)a,b使得1<x1<2和1<x2<2同時成立,請證明你的結論.

【答案】(1)y=4x2﹣16x+12;(2)P(,﹣3).(3)不存在.理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)由tanABC=4,可設B(m,0),則A(m-2,0),C(0,4m),可得拋物線的解析式為y=4(x-m)(x-m+2),把C點坐標代入即可求解;

(2)設P(m,4m2-16m+12).作PHOC交BC于H,根據SΔPBC=SΔPHC+SΔPHB,構建二次函數(shù),求解即可;

(3)不存在.假設存在,由題意知, 且1<﹣<2,求出a的值,解不等式組即可得解.

試題解析:(1)tanABC=4

可以假設B(m,0),則A(m﹣2,0),C(0,4m),

可以假設拋物線的解析式為y=4(x﹣m)(x﹣m+2),

把C(0,4m)代入y=4(x﹣m)(x﹣m+2),得m=3,

拋物線的解析式為y=4(x﹣3)(x﹣1),

y=4x2﹣16x+12,

(2)如圖,設P(m,4m2﹣16m+12).作PHOC交BC于H.

B(3,0),C(0,12),

直線BC的解析式為y=﹣4x+12,

H(m,﹣4m+12),

SPBC=SPHC+SPHB=(﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12)3=﹣6(m﹣2+,

﹣6<0,

m=時,PBC面積最大,

此時P(,﹣3).

(3)不存在.

理由:假設存在.由題意可知,

且1<﹣<2,

4<a<8,

a是整數(shù),

a=5 或6或7,

當a=5時,代入不等式組,不等式組無解.

當a=6時,代入不等式組,不等式組無解.

當a=7時,代入不等式組,不等式組無解.

綜上所述,不存在整數(shù)a、b,使得1<x1<2和1<x2<2同時成立.

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