Question

【題目】如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為直徑作⊙.

(1)求證：是⊙的切線；

(2) 若AC=3，BC=4，求BE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】

（1）連接OD，由AE為直徑、DE⊥AD可得出點(diǎn)D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根據(jù)AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出AC∥DO，再結(jié)合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，進(jìn)而即可證出BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)OD=r，則BO=5-r，由OD∥AC可得出 ，代入數(shù)據(jù)即可求出r值，再根據(jù)BE=AB-AE即可求出BE的長(zhǎng)度．

解：(1)證明：連接.

∵AE為直徑，

點(diǎn)在上⊙

又∵AD平分

，即

又∵OD為半徑

是⊙的切線

(2) ∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，

∴AB=5.

設(shè)OD=r，則BO=5r.

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴,即 ，

解得：r= ，

∴BE=ABAE=5 = .