Question

【題目】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．

（1）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，求證：BM+DN＝MN；

（2）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），則線段BM，DN和MN之間數(shù)量關(guān)系是　 　；

（3）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并對你的猜想加以說明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN，理由詳見解析.

【解析】

（1）延長CB至E使得BE＝DN，連接AE，連接AC，證明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，得到MN＝ME，即可證明BM+DN＝MN；

（2）延長CB至E，使得BE＝DN，連接AE，證明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，MN＝ME，即可證明BM+DN＝MN；

（3）在DC上截取DE=BM，連接AE，可前面知△ABM≌△ADE，進一步可證明△MAN≌△EAN，可得到MN=NE，從而可得到DN-BM=MN．

（1）證明：如圖1，延長CB至E使得BE＝DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，

在△ADN和△ABE中

∵，

△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，

∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

，

∴△EAM≌△NAM，

∴MN＝ME，

∵ME＝BM+BE＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN；

（2）解：線段BM，DN和MN之間數(shù)量關(guān)系是BM+DN＝MN，理由如下：

延長CB至E，使得BE＝DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，

在△ADN和△ABE中，

∵，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，

∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

，

∴△EAM≌△NAM，

∴MN＝ME，

∵ME＝BM+BE＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN，

故答案為：BM+DN＝MN；

（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：

如圖3，在DC上截取DE＝BM，連接AE，

由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），

∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，

∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAN＝∠MAN．

∵在△MAN和△EAN中，

，

∴△MAN≌△EAN（SAS），

∴EN＝MN，

即DN﹣DE＝MN，

∴DN﹣BM＝MN．