【題目】閱讀與思考;
婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家,書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍,他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位,他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的,他還提出了著名的婆羅摩笈多定理,該定理的內(nèi)容及證明如下:
已知:如圖,四邊形ABCD內(nèi)接與圓O對角線AC⊥BD于點(diǎn)M,ME⊥BC于點(diǎn)E,延長EM交CD于F,求證:MF=DF
證明∵AC⊥BD,ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°,同時(shí)∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF,即F是AD中點(diǎn).
(1)請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程,完成婆羅摩笈多逆定理的證明:
已知:如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接與圓O,對角線AC⊥BD于點(diǎn)M,F是AD中點(diǎn),連接FM并延長交BC于點(diǎn)E,求證:ME⊥BC
(2)已知如圖2,△ABC內(nèi)接于圓O,∠B=30°∠ACB=45°,AB=2,點(diǎn)D在圓O上,∠BCD=60°,連接AD 交BC于點(diǎn)P,作ON⊥CD于點(diǎn)N,延長NP交AB于點(diǎn)M,求證PM⊥BA并求PN的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析, PN=1.
【解析】試題分析:(1)由于AC⊥BD,所以∠AMD=90°,∠FAM+∠FDM=90°,由于F是AD的中點(diǎn),所以AF=MF=DF,從而可證明∠EMC+∠MCB=90°.
(2)由圓周角定理得出∠D=∠B=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC=45°,得出△APC是等腰直角三角形,∴PA=PC,∠CPD=90°,由(1)的證明過程可知:PM⊥BA,再由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AP=1,CD=2,最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出PN的長度.
試題解析:(1)∵AC⊥BD,
∴∠AMD=90°,
∵F是AD的中點(diǎn),
∴AF=MF=DF,
∴∠FAM=∠FMA,
∠FMD=∠FDM,
∵∠FDM=∠MCB,∠FMA=∠EMC,
∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°,
∴ME⊥BC;
(2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°,
∴∠ACD=45°+60°=105°,
又∵∠D=∠B=30°,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°,
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠APC=90°,
∴AD⊥BC,
∵ON⊥CD,
∴由垂徑定理可知:N是CD的中點(diǎn),
∴由(1)的證明過程可知:PM⊥BA
∵AB=2,∠B=30°,
∴AP=1,
∴PC=1,
∵∠D=30°,
∴CD=2PC=2,
∵N是CD的中點(diǎn),∠CPD=90°,
∴PN=CD=1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),OP是∠MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問題:
(1)如圖(2),在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°, AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖(3),在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他條件不變,在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知EF//AD,∠1=∠2,∠BAC=70o.將求∠AGD的過程填寫完整.
解: ,
________( )
又 ,
( )
( )
________ ( )
又 ,
________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三條邊長分別為6,8,12,過任一頂點(diǎn)畫一條直線,將分割成兩個(gè)三角形,使其中的一個(gè)是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫( )
A.6條B.7條C.8條D.9條
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn).
(1)只用直尺(沒有刻度)和圓規(guī),求作一個(gè)點(diǎn)P,使點(diǎn)P同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件
①點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離相等;
②點(diǎn)P到的兩邊的距離相等.
(要求保留作圖痕跡,不必寫出作法)
(2)在(1)作出點(diǎn)P后,點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1)(﹣7.3)+5
(2)3﹣(﹣5)
(3)
(4)(﹣12)÷(﹣)
(5)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5+(﹣6)
(6)﹣3.5÷×|﹣|
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國家.為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識,某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):每戶每月的用水不超過6噸時(shí),水價(jià)為每噸2元,超過6噸時(shí),超過的部分按每噸3元收費(fèi).該市某戶居民5月份用水x噸,應(yīng)交水費(fèi)y元.
(1)若0<x≤6,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若x>6,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)如果該戶居民這個(gè)月交水費(fèi)27元,那么這個(gè)月該戶用了多少噸水?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E,F是四邊形ABCD的對角線BD上的兩點(diǎn),AE∥CF,AB∥CD,BE=DF,則下列結(jié)論:
①AE=CF,②AD=BC,③AD∥BC,④∠BCF=∠DAE,
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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