Question

如圖，點(diǎn)O為∠APB角平分線上一點(diǎn)，半徑為2的⊙O切PA于A點(diǎn)，AP=4．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若連接兩切點(diǎn)交OP于點(diǎn)C，△APC沿AC翻折AP的對(duì)應(yīng)線段AQ交⊙O于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出△PAO≌△PBO（AAS），進(jìn)而得出AO=BO，∠PBO=∠PAO=90°，求出即可；
（2）首先利用勾股定理以及三角形面積AC，CO的長(zhǎng)，即可得出FQ以及AE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)O作OB⊥PB，連接AO，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
在△PAO和△PBO中

∠OAP=∠OBP ∠APO=∠BPO PO=PO

，
∴△PAO≌△PBO（AAS），
∴AO=BO，∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵∠PAO=90°，AO=2，PA=4，
∴PO=2

5

，
∵PA，PB是⊙O的切線，∠APO=∠OPB，
∴PA=PB，PC⊥AB，
∴AC×PO=AO×PA，
∴AC=

2×4

2 5

=

4 5

5

，
∴tan∠APO=

AO

AP

=

1

2

，
∵∠APO=∠Q，
∴CQ=2×AC=

8 5

5

，
∵AO=2，
∴CO=

AO2-AC2

=

2 5

5

，
∴FQ=

8 5

5

-2-

2 5

5

=

6 5

5

-2，
∴NQ=

6 5

5

-2+4=

6 5

5

+2，
∵EQ×AQ=FQ×QN，
∴設(shè)AE=x，則4（4-x）=（

6 5

5

-2）×（

6 5

5

+2）
解得：x=

16

5

，
即AE的長(zhǎng)為

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用切割線定理推論得出是解題關(guān)鍵．