Question

如圖，已知P是正方形ABCD對角線AC上的一點，不與A，C重合，PE⊥DA，PF⊥CD，E、F為垂足，
（1）求證：四邊形EPFD為矩形；
（2）求證：BP=EF；
（3）過E，P，F三點作⊙O，設正方形ABCD的邊長為4，當AC與⊙O相切時，求BP的長．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,矩形的判定,切線的性質

專題：

分析：（1）根據正方形的性質可得∠D=90°，再根據垂直的定義求出∠PED=∠PFD=90°，然后根據四個角都相等的四邊形是矩形證明即可；
（2）連接PD，根據正方形的性質可得∠BAP=∠DAP，AB=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△ADP全等，根據全等三角形對應邊相等可得BP=DP，再根據矩形的對角線相等可得DP=EF，從而得證；
（3）設DP、EF的交點為O，根據矩形的對角線互相平分且相等可得點O到E、P、F、D的距離相等，從而判斷出PD、EF為⊙O的直徑，再根據直線與圓相切的定義可得PD⊥AC，然后根據正方形的性質求解即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠D=90°，
∵PE⊥DA，PF⊥CD，
∴∠PED=∠PFD=90°，
∴∠PED=∠PFD=∠EPF=∠D，
∴四邊形EPFD為矩形；

（2）證明：如圖，連接PD，
在正方形ABCD中，∠BAP=∠DAP，AB=AD，
在△ABP和△ADP中，

AP=AP ∠BAP=∠DAP AB=AD

，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，
由（1）知四邊形EPFD是矩形，
∴EF=DP，
∴BP=EF；

（3）解：設DP、EF的交點為O，
∵四邊形EPFD是矩形，
∴點O到E、P、F、D的距離相等，
∴點E、P、D、F四個點在同一個圓上，即⊙O上，對角線PD、EF為⊙O的直徑，
∴當AC⊥PD時，AC為⊙O的切線，
此時，PA=PB=PC=PD=

1

2

AC=

1

2

×4

2

=2

2

，
故BP的長為2

2

．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，切線的性質，熟記各圖形的性質和判定方法是解題的關鍵．