Question

如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，在劣弧

AD

上取一點E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求∠AGB的度數(shù)；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直徑等于17，BD=15，求CE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)AD，根據(jù)圓周角定理得∠DAC=∠DEC，而∠EBC=∠DEC，則∠DAC=∠EBC，由AC是⊙O的直徑得到∠ADC=90°，即∠DCA+∠DAC=90°，所以∠EBC+∠DCA=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BGC=90°，則有∠AGB=90°；                   
（2）由于∠BDA=90°，∠ABC=45°，則∠BAD=45°，所以BD=AD=15，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理計算出DC=8，則BC=BD+DC=23，再證明△BCE∽△ECD，然后利用相似比可計算CE的長．

解答：（1）證明：連結(jié)AD，如圖，                     
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠AGB=90°；                   

（2）解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD=15，
在Rt△ADC中，AC=17，AD=15，
∴DC=

AC2-AD2

=8，
∴BC=BD+DC=8+15=23，
∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴

BC

CE

=

CE

CD

，即

23

CE

=

CE

8

．
∴CE=2

46

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等，都等于相似比．也考查了圓周角定理和勾股定理．