Question

【題目】如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．

求證：；

若，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

當(dāng)時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①或；②PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是．

【解析】

欲證明，只要證明≌即可．

分兩種情形a、如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，由∽，得，由此即可解決問(wèn)題．

b、如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，解法類似．

、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在下方與相切時(shí)，PB的值最小．

b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在上方與相切時(shí)，PB的值最大．分別求出PB即可．

證明：如圖1中，

和是等腰直角三角形，，

，，，

在和中，

，

≌，

．

解：、如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，．

，

同可證≌．

．

，

∽．

b、如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，．

，

，

同可證≌．

．

，

∽，

，

，

，

綜上，或．

、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在下方與相切時(shí)，PB的值最小．

理由：此時(shí)最小，因此PB最小，是直角三角形，斜邊BC為定值，最小，因此PB最小

，

，

由可知，≌，

，，

，

四邊形AEPD是矩形，

，

．

b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在上方與相切時(shí)，PB的值最大．

理由：此時(shí)最大，因此PB最大，是直角三角形，斜邊BC為定值，最大，因此PB最大

，

，

由可知，≌，

，，

，

四邊形AEPD是矩形，

，

．

綜上所述，PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是．