【題目】類(lèi)比探究:

1)如圖1,等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若AP8BP15,CP17,求∠APB的大;(提示:將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處)

2)如圖2,在△ABC中,∠CAB90°,ABACE、FBC上的點(diǎn),且∠EAF45°.求證:EF2BE2+FC2;

3)如圖3,在△ABC中,∠C90°,∠ABC30°,點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AOBO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA120°,若AC1,求OA+OB+OC的值.

【答案】1150°;(2)見(jiàn)解析;(3.

【解析】

1)根據(jù)APB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ACP′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等,全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到結(jié)論;
2)把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACE′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AECE′=CE,∠CAE′=BAE,∠ACE′=B,∠EAE′=90°,再求出∠E′AF=45°,從而得到∠EAF=E′AF,然后利用邊角邊證明EAFE′AF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F=EF,再利用勾股定理列式即可得證;
3)將AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°A′O′B處,連接OO′,根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC,即A′B的長(zhǎng),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出BOO′是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′,等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BOO′=BO′O=60°,然后求出C、OA′、O′四點(diǎn)共線(xiàn),再利用勾股定理列式求出A′C,從而得到OA+OB+OC=A′C

解:(1)如圖1,將APB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ACP,

∴△ACP≌△ABP,

APAP8CPBP15、∠APC=∠APB

由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PA P60°,

∴△AP P為等邊三角形,

P PAP8,∠A PP60°,

PP2+PC282+152172PC2,

∴∠PPC90°,

∴∠APB=∠APC=∠A PP+P PC60°+90°150°

2)如圖2,把ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACE,

AEAECECE,∠CAE=∠BAE

∵∠BAC90°,∠EAF45°

∴∠BAE+CAF=∠CAF+CAE=∠FAE45°,

∴∠EAF=∠EAF,且AEAE',AFAF,

∴△AEF≌△AEFSAS),

EFEF

∵∠B+ACB90°,

∴∠ACB+ACE90°,

∴∠FCE90°

EF2CF2+CE2,

EF2BE2+CF2;

3)如圖3,將AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°AOB處,連接OO,

∵在RtABC中,∠C90°AC1,∠ABC30°

AB2,

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

∴△AOB如圖所示;

ABC=∠ABC+60°30°+60°90°,

∵∠ACB90°,AC1,∠ABC30°,

AB2AC2,

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到AOB,

ABAB2BOBO,AOAO

∴△BOO是等邊三角形,

BOOO,∠BOO=∠BOO60°,

∵∠AOC=∠COB=∠BOA120°

∴∠COB+BOO=∠BOA′+BOO120°+60°180°,

C、O、A、O四點(diǎn)共線(xiàn),

RtABC中,,

OA+OB+OCAO′+OO′+OCAC

練習(xí)冊(cè)系列答案
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譯文:假設(shè)有幾個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞,如果每人出九錢(qián),那么多了十一錢(qián);如果每人出六錢(qián),那么少了十六錢(qián).問(wèn):有幾個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞?雞的價(jià)錢(qián)是多少?設(shè)有x個(gè)人共同買(mǎi)雞,根據(jù)題意列一元一次方程,正確的是( )

A. 9x+11=6x﹣16B. 9x﹣11=6x+16

C. D.

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