Question

10．已知如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，有一內(nèi)接?EFGH，它的各邊平行于對(duì)角線，若長(zhǎng)方形對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，則?EFGH的周長(zhǎng)為24cm．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)HG交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出EH=GF，∠AEH=∠ABD=∠BDC=∠CGF，再由AAS定理得出△AEH≌△CGF（AAS），故可得出AH=CF，同理可得出△FCG≌△KCG，故可得出FG=GK，根據(jù)HG+FG=HG+GK=HK=AC即可得出結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)HG交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EH=GF，且有EH∥BD∥GF，
∴∠AEH=∠ABD=∠BDC=∠CGF，
在△AEH與△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEH=∠CGF\\∠EAH=∠GCF\\ EH=GF\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AH=CF．
在四邊形ACKH中，
∵AH∥CK，AC∥HK，
∴四邊形ACKH是平行四邊形，
∴AH=CK．
在△FCG和△KCG中，
$\left\{\begin{array}{l}CG=CG\\∠FCG=∠KCG\\ CF=CK\end{array}\right.$，
∴△FCG≌△KCG（SAS），
∴FG=GK，
∴HG+FG=HG+GK=HK=AC，
∴平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)為：2（HG+FG）=2AC=24（cm）．
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論．