Question

20．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于P點．
（1）求證：△ABE∽△ECP；
（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形，使得AP=EP，若能，求出BE的長； 若不能，請說明理由；
（3）當BE為何值時，AP有最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEF=∠B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠CEP=∠BAE，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAE=∠PEA，證明△CAE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；
（3）設(shè)BE=x，AP=y，根據(jù)△ABE∽△ECP得到比例式，求出y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEP=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEP=∠BAE，又∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECP；
（2）解：當AP=EP時，
則∠PAE=∠PEA，
∴∠PAE+∠BAE=∠PEA+∠CEP，
即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{CA}{CB}$，即CA²=CE•CE，
∴6²=（8-BE）×8，
解得，BE=$\frac{7}{2}$；
（3）解：設(shè)BE=x，AP=y，
由（1）得△ABE∽△ECP，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{AB}{CE}$，
∵CP=AC-AP=6-y，EC=BC-BE=8-x，
∴$\frac{x}{6-y}$=$\frac{6}{8-x}$，
即y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+6=$\frac{1}{6}$（x-4）²+$\frac{10}{3}$，
∴當x=4時，y有最小值為$\frac{10}{3}$，
∴當BE為4時，AP有最小值．

點評 本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到二次函數(shù)的解析式、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．