Question

9．在圖中，正方形AOBD的邊AO，BO在坐標(biāo)軸上，若它的面積為16，點(diǎn)M從O點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動，當(dāng)M到達(dá)B點(diǎn)時，運(yùn)動停止．連接AM，過M作AM⊥MF，且滿足AM=MF，連接AF交BD于E點(diǎn)，過F作FN⊥x軸于N，連接ME．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動時間為t（s）．
（1）直接寫出點(diǎn)D和M的坐標(biāo)（可用含t式子表示）；
（2）當(dāng)△MNF面積為$\frac{8}{3}$時，求t的值；
（3）△AME能否為等腰三角形？若不能請說明理由；若能，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面積可求得正方形的邊長，從而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，由題意可知OM=t，且M在x軸上，故此可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）先依據(jù)AAS證明△AMO≌△MFN，從而得到OM=FN，OA=MN，接下來由三角形的面積公式可求得OM的長，從而得到t得值；
（3）可分為AM=EM、AE=ME、AM=AE三種情況．其中AM=EM的情況不成立；當(dāng)AE=ME時，可依據(jù)AAS證明△MEB≌△EAD，從而得到BE=AD，于是可得到M與點(diǎn)B重合從而求得t的值；當(dāng)AM=AE時，可證明MO=MH=HE=DE，從而可求得ME=2t，MB=4-t，然后在△MBE中依據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，從而可取得t的值．

解答 解：（1）∵正方形AOBD的面積為為16，
∴正方形的邊長為4，即OB=BD=4．
∴D（4，4）．
∵OM=t，點(diǎn)M在x軸上，
∴M（t，0）．
（2）∵AM⊥MF，
∴∠AMF=90°．
∴∠AMO+∠FMN=90°．
又∵∠OAM+∠AMO=90°，
∴∠OAM=∠FMN．
在△AMO于△MFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MOA=∠FNM}\\{∠MAO=∠FMN}\\{AM=MF}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△MFN（AAS）．
∴OM=FN，OA=MN．
∴$\frac{1}{2}$AO•OM=$\frac{1}{2}$MN•FN=$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{2}$×4×t=$\frac{8}{3}$，解得：t=$\frac{4}{3}$．
（3）①∵△AMF為等腰直角三角形，
∴MF=AM≠M(fèi)E．
∴AM=EM這種情況不成立．
②當(dāng)AE=ME時．
∵△AMF為等腰直角三角形，
∴∠MAE=45°．
∵AE=ME，
∴∠MAE=∠AME=45°．
∴∠AEM=90°．
∴∠AED+∠MEB=90°．
又∵∠AED+∠EAD=90°，
∴∠MEB=∠EAD．
在△MEB和△EDA中$\left\{\begin{array}{l}{∠MEB=∠EAD}\\{∠MBE=∠D}\\{ME=AE}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△EAD（AAS）．
∴BE=AD．
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合．
∴t=4．
③當(dāng)AM=AE時，如圖所示：連接AB交ME于點(diǎn)H．

∵在Rt△AOM和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{AO=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOM≌△Rt△ADE．
∴DE=OM=t，∠MAO=∠DAE=22.5°．
∵四邊形AOBD為正方形，
∴∠BAO=∠DAB=45°．
∴∠MAH=∠EAH=22.5°．
∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°．
∴AH⊥ME．
∴MO=MH=t，HE=DE=t．
∴ME=MH+HE=2t．
∵M(jìn)B=BE=4-t，由勾股定理得：ME²=MB²+BE²，即2（4-t）²=4t²．
解得：t=4$\sqrt{2}$-4，t=-4-4$\sqrt{2}$（舍去）．
綜上所述，當(dāng)t=4或y=4$\sqrt{2}$-4時，△AME為等腰三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．