Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），且經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，3），與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．

（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線OB的上方，過點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N，連接OM．

①求MN的最大值；

②當(dāng)△OMN為直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過點(diǎn)A的直線交x軸于點(diǎn)E，且AE∥y軸，點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動點(diǎn)，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，EF+EG的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）或（）；（3）EF+EG的和為定值，該定值為8，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）2+4，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出a值，進(jìn)而可得出拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可得出直線OB的函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立直線OB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，通過解方程組可求出直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣2＜m＜），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，﹣m2﹣2m+3），進(jìn)而可得出MN＝，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

②由MN∥x軸可知∠ONM≠90°，分∠OMN＝90°和∠MON＝90°兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠OMN＝90°時(shí)，線段OM在y軸上，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，OM⊥OB，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出直線OM過點(diǎn)（3，2），進(jìn)而可得出直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立直線OM和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1），利用待定系數(shù)法可求出直線CP，DP對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合AE∥y軸可得出直線AE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出EF，EG，EF+EG的值．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），

∴設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）2+4．

將B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，

解得：a＝﹣1，

∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）①設(shè)直線OB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx（k≠0），

將B（﹣2，3）代入y＝kx，得：3＝﹣2k，

解得：k＝﹣，

∴直線OB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x．

聯(lián)立直線OB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，得： ，

解得： ．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣2＜m＜），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m2+m﹣2，﹣m2﹣2m+3），

∴MN＝m﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2＝﹣（m+）2+．

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，MN最大，最大值為．

②∵MN∥x軸，

∴∠ONM≠90°，

∴分兩種情況考慮（如圖3所述）：

（i）當(dāng)∠OMN＝90°時(shí)，線段OM在y軸上．

∵當(dāng)m＝0時(shí)，y＝﹣m2﹣2m+3＝3，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（ii）當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，OM⊥OB，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3），

∴點(diǎn)（3，2）在直線OM上，

∴直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x．

聯(lián)立直線OM和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，得： ，

解得： （不合題意，舍去）， ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）．

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）或（）．

（3）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），

∴直線CP對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直線DP對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系數(shù)法求出）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，4），AE∥y軸，

∴直線AE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為x＝﹣1．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，2﹣2n），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，2n+6），

∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，

∴EF+EG＝8．

∴EF+EG的和為定值，該定值為8．