【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(﹣1,4),且經(jīng)過點(diǎn)B(﹣2,3),與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)).
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖1,點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),且在直線OB的上方,過點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N,連接OM.
①求MN的最大值;
②當(dāng)△OMN為直角三角形時(shí),直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,過點(diǎn)A的直線交x軸于點(diǎn)E,且AE∥y軸,點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動點(diǎn),直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),EF+EG的和是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)①;②點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3)或();(3)EF+EG的和為定值,該定值為8,理由見解析
【解析】
(1)由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+1)2+4,代入點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出a值,進(jìn)而可得出拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)①由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可得出直線OB的函數(shù)表達(dá)式,聯(lián)立直線OB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組,通過解方程組可求出直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣m2﹣2m+3)(﹣2<m<),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,﹣m2﹣2m+3),進(jìn)而可得出MN=,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
②由MN∥x軸可知∠ONM≠90°,分∠OMN=90°和∠MON=90°兩種情況考慮:(i)當(dāng)∠OMN=90°時(shí),線段OM在y軸上,利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);(ii)當(dāng)∠MON=90°時(shí),OM⊥OB,由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出直線OM過點(diǎn)(3,2),進(jìn)而可得出直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,聯(lián)立直線OM和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組,通過解方程組可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣n2﹣2n+3)(﹣1<n<1),利用待定系數(shù)法可求出直線CP,DP對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合AE∥y軸可得出直線AE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)F,G的坐標(biāo),進(jìn)而可得出EF,EG,EF+EG的值.
(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為A(﹣1,4),
∴設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+1)2+4.
將B(﹣2,3)代入y=a(x+1)2+4,得:3=a+4,
解得:a=﹣1,
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣(x+1)2+4,即y=﹣x2﹣2x+3.
(2)①設(shè)直線OB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx(k≠0),
將B(﹣2,3)代入y=kx,得:3=﹣2k,
解得:k=﹣,
∴直線OB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x.
聯(lián)立直線OB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組,得: ,
解得: .
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣m2﹣2m+3)(﹣2<m<),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m2+m﹣2,﹣m2﹣2m+3),
∴MN=m﹣(m2+m﹣2)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+.
∵﹣<0,
∴當(dāng)m=﹣時(shí),MN最大,最大值為.
②∵MN∥x軸,
∴∠ONM≠90°,
∴分兩種情況考慮(如圖3所述):
(i)當(dāng)∠OMN=90°時(shí),線段OM在y軸上.
∵當(dāng)m=0時(shí),y=﹣m2﹣2m+3=3,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3);
(ii)當(dāng)∠MON=90°時(shí),OM⊥OB,
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,3),
∴點(diǎn)(3,2)在直線OM上,
∴直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x.
聯(lián)立直線OM和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組,得: ,
解得: (不合題意,舍去), ,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為().
綜上所述:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3)或().
(3)當(dāng)y=0時(shí),﹣x2﹣2x+3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣n2﹣2n+3)(﹣1<n<1).
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0),
∴直線CP對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=(1﹣n)x+3﹣3n,直線DP對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣(n+3)x+n+3(可利用待定系數(shù)法求出).
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,4),AE∥y軸,
∴直線AE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為x=﹣1.
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=(1﹣n)x+3﹣3n=2﹣2n,y=﹣(n+3)x+n+3=2n+6,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣1,2﹣2n),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣1,2n+6),
∴EF=2﹣2n,EG=2n+6,
∴EF+EG=8.
∴EF+EG的和為定值,該定值為8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小王某月手機(jī)話費(fèi)中的各項(xiàng)費(fèi)用統(tǒng)計(jì)情況見下列圖表,請你根據(jù)圖表信息完成下列各題:
項(xiàng)目 | 月功能費(fèi) | 基本話費(fèi) | 長途話費(fèi) | 短信費(fèi) |
金額/元 | 5 | ▲ | ▲ | 25 |
(1)該月小王手機(jī)話費(fèi)共有多少元?
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示短信費(fèi)的扇形的圓心角為多少度?
(3)請將表格補(bǔ)充完整;
(4)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】主題為“綠色生活,美麗家園”的世界園藝博覽會,將于2019年4月29日至2019年10月7日在中國北京市延慶區(qū)舉行.據(jù)介紹,在國際競賽區(qū),舉辦牡丹、蘭花、月季、組合盆栽、盆景、菊花六類專項(xiàng)國際競賽(參賽植物以盆為單位).
(1)求參加競賽的共有多少盆植物?
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)求“從參賽作品中任選一盆植物,是月季或盆栽”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù),如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù):3、4、5;三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10;事實(shí)上,勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).
(1)另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù),請證明滿足以上公式的a、b、c的數(shù)是一組勾股數(shù).
(2)然而,世界上第一次給出的勾股數(shù)公式,收集在我國古代的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,書中提到:當(dāng)a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n為正整數(shù),m>n時(shí),a、b、c構(gòu)成一組勾股數(shù);利用上述結(jié)論,解決如下問題:已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù),其中一邊長為37,且n=5,求該直角三角形另兩邊的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,過點(diǎn)作于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,連接,.
(1)求證:四邊形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BE=5,AF平分∠DAB,求平行四邊形的面積.
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【題目】如圖1是某商場從一樓到二樓的自動扶梯,圖2是側(cè)面示意圖,MN是二樓樓頂,MN∥PQ,點(diǎn)C在MN上,且位于自動扶梯頂端B點(diǎn)的正上方,BC⊥MN.測得AB=10米,在自動扶梯底端A處測得點(diǎn)C的仰角為50°,點(diǎn)B的仰角為30°,求二樓的層高BC(結(jié)果保留根號)
(參考數(shù)據(jù):sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20)
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【題目】中考體育測試前,某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男生的成績情況,隨機(jī)抽取了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績,并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
請你根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)寫出扇形圖中______,并補(bǔ)全條形圖;
(2)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______,眾數(shù)是______,中位數(shù)是______;
(3)該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生共有1200人,如果體育中考引體向上達(dá)6個(gè)以上(含6個(gè))得滿分,請你估計(jì)該區(qū)體育中考中選報(bào)引體向上的男生能獲得滿分的有多少名?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在邊CD上有一點(diǎn)E,使EB平分∠AEC.若P為BC邊上一點(diǎn),且BP=2CP,連接EP并延長交AB的延長線于F.給出以下五個(gè)結(jié)論:
①點(diǎn)B平分線段AF;②PF=DE;③∠BEF=∠FEC;④S矩形ABCD=4S△BPF;⑤△AEB是正三角形.
其中正確結(jié)論的序號是.
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【題目】解不等式組 請結(jié)合題意填空,完成本題的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來.
(Ⅳ)原不等式組的解集為 .
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