Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，連接PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCD，連接BD.

(1)求證： ；

(2)請你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，設(shè)AP=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) AC與BD平行，詳見解析；(3) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，；當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時，.

【解析】

（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，可推出△BCO為等腰直角三角形，則，再根據(jù)△PCD為等腰直角三角形，得，從而得出結(jié)論；

（2）由（1）的結(jié)論可得出∠PCO＝∠BCD，再由，可證明△PCO∽△DCB，從而得出∠ABD＝∠BAC＝45°，根據(jù)平行線的判定定理可得出AC∥BD；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，作PE⊥BD，如圖1，根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，得AB＝4，PO＝2x，BP＝4x，根據(jù)△PCO∽△DCB，得，求出BD＝，再求出，根據(jù)三角形面積公式即可得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時，作PE⊥BD，如圖2，可知：OP＝x2，BP＝4x，再根據(jù)△PCO∽△DCB，可得，得出BD＝，求出PE＝，根據(jù)三角形面積公式即可得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解：(1)∵△ABC為等腰直角三角形，O是AB的中點(diǎn)，

∴∠OCB=∠CBO=45°，∠COB=∠AOC=90°，

∴△BCO為等腰直角三角形，

∴，

∵△PCD為等腰直角三角形

∴，

∴；

(2) AC∥BD，

理由：由(1)可知：∠PCO+∠OCD=∠BCD+∠OCD=45°，

∴∠PCO=∠BCD，

又∵，

∴△PCO∽△DCB，

∴∠CBD=∠AOC=90°，

∴∠ABD=∠BAC=45°，

∴AC∥BD；

(3)分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，作PE⊥BD，如圖1，

∵AC=BC=，△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=4，則AO=BO=CO=2，

∴PO=2﹣x，BP=4﹣x，

∵△PCO∽△DCB，

∴，即，

∴BD=，

∵∠PBE=45°，

∴，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時，作PE⊥BD，如圖2，

可知：OP=x﹣2，BP=4﹣x，

∵△PCO∽△DCB，

∴，即，

∴BD=，

∵∠PBE=45°，

∴，

∴．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，；當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時，.