【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對角線AC繞對角線交點O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點E、F,點P是邊DC上的一個動點,且保持DP=AE,連接PE、PF,設(shè)AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= ;(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運動過程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請說明理由.
【答案】(1)PC=3﹣x,F(xiàn)C=x;(2)當(dāng)x=時,△PEF面積的最小值為;(3)PE⊥PF不成立理由見解析.
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)可得AD∥BC,DC=AB=3,AO=CO,可證△AEO≌△CFO,可得AE=CF=x,由DP=AE=x,可得PC=3﹣x;
(2)由S△EFP=S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP,可得S△EFP=x2﹣x+6=(x﹣)2+,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求△PEF面積的最小值;
(3)若PE⊥PF,則可證△DPE≌△CFP,可得DE=CP,即3﹣x=4﹣x,方程無解,則不存在x的值使PE⊥PF.
(1)∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC,DC=AB=3,AO=CO
∴∠DAC=∠ACB,且AO=CO,∠AOE=∠COF
∴△AEO≌△CFO(ASA)
∴AE=CF
∵AE=x,且DP=AE
∴DP=x,CF=x,DE=4﹣x,
∴CP=3﹣x,PC=CD﹣DP=3﹣x
故答案為:3﹣x,x
(2)∵S△EFP=S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP,
∴S△EFP=
=x2﹣x+6=(x﹣)2+
∴當(dāng)x=時,△PEF面積的最小值為.
(3)不成立
理由如下:若PE⊥PF,則∠EPD+∠FPC=90°
又∵∠EPD+∠DEP=90°
∴∠DEP=∠FPC,且CF=DP=AE,∠EDP=∠PCF=90°
∴△DPE≌△CFP(AAS)
∴DE=CP
∴3﹣x=4﹣x
則方程無解,
∴不存在x的值使PE⊥PF,
即PE⊥PF不成立.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α度(30<α<150)得到△AB′C′,B、C兩點的對應(yīng)點分別為點B′、C′,連接BC′,BC與AC、AB′相交于點E、F.
(1)當(dāng)α=70時,∠ABC′=_____°,∠ACB′=______°.
(2)求證:BC′∥CB′.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A(0,2),對稱軸為直線x=﹣2,平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點,點B在對稱軸左側(cè),BC=6.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)點P在x軸上,直線CP將△ABC面積分成2:3兩部分,請直接寫出P點坐標(biāo).
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.
(1)試求A,B,C的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.3
①求點D的坐標(biāo);
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點C的對應(yīng)點C1落在邊AC上時,設(shè)AC的對應(yīng)邊A1C1與AB的交點為E,則∠BEC1=___°.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
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【題目】操場上有三根測桿AB,MN和XY,MN=XY,其中測桿AB在太陽光下某一時刻的影子為BC(如圖中粗線).
(1)畫出測桿MN在同一時刻的影子NP(用粗線表示),并簡述畫法;
(2)若在同一時刻測桿XY的影子的頂端恰好落在點B處,畫出測桿XY所在的位置(用實線表示),并簡述畫法.
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【題目】如圖,已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度數(shù);
(2)在MN上是否存在一點D,使ABCD=ACBC,為什么?
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【題目】一個圓柱體形零件,削去了占底面圓的四分之一部分的柱體(如圖),現(xiàn)已畫出了主視圖與俯視圖.
(1)請只用直尺和圓規(guī),將此零件的左視圖畫在規(guī)定的位置(不必寫作法,只須保留作圖痕跡);
(2)若此零件底面圓的半徑r=2cm,高h=3cm,求此零件的表面積.
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