Question

【題目】已知如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（3，3），與x軸正半軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，△ABC的外接圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上一點(diǎn)Q（m，m+3），（m為整數(shù)），點(diǎn)M為△ABC的外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段QM長(zhǎng)度的范圍；

（3）將△AOC繞平面內(nèi)一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°至△A'O'C'（點(diǎn)O'與O為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），使得該三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)落在的圖象上，求出旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（4,0）；；（2）≤QM≤；（3）、

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，AE⊥x軸于點(diǎn)E，求證△ACD≌△ABE，進(jìn)而求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，即可解答；

（2）將點(diǎn)Q（m，m+3）代入二次函數(shù)解析式，求得m的值，進(jìn)而且得點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)得到BC是圓N的直徑，利用勾股定理即可求得BC，進(jìn)而求得N的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得QN的長(zhǎng)，確定取值范圍即可；

（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，利用旋轉(zhuǎn)180°可知，∥，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋轉(zhuǎn)中心和線段中點(diǎn)的特點(diǎn)，即可求得旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m-3，同理可求得m的值以及旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo).

（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，AE⊥x軸于點(diǎn)E，

∴∠ADC=∠AEB=90°

∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，

點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2）

∵點(diǎn)A坐標(biāo)（3，3）

∴DA=AE=3

∵∠DAC+∠CAE=90°

∠EAB+∠CAE=90°

∴∠DAC=∠EAB

∴△ACD≌△ABE

∴EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）

將A（3，3）B（4，0）代入二次函數(shù)中

得：

解得：

二次函數(shù)的解析式為：

（2）將點(diǎn)Q（m，m+3）代入二次函數(shù)解析式得：

m1=1；m2=（舍）

∴m=1

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,4)

由勾股定理得：BC=2

設(shè)圓的圓心為N

∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且∠COB=90°

∴BC是圓N的直徑，

∴圓N的半徑為，N的坐標(biāo)為（2,1）

由勾股定理得，QN=

半徑r=，則≤QM≤

（3）當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，如圖

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m-3

得：

解得：

∴的坐標(biāo)為（）

∴旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，如圖

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m-3

得：

解得：

∴的坐標(biāo)為（）

∴旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為

綜上所述，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為或