【題目】如圖,正方形ABCD中,E為BC邊上任意點(diǎn),AF平分∠EAD,交CD于點(diǎn)F.
(1)如圖1,若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn),求證:AE=BE+2CE;
(2)在(1)的條件下,求的值;
(3)如圖2,延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G,延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H,連接HG,當(dāng)CG=DF時(shí),求證:HG⊥AG.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
(1)延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD=CG,據(jù)此知CG=BC=BE+CE,根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證;
(2)設(shè)CE=a,BE=b,則AE=2a+b,AB=a+b,在Rt△ABE中,由AB2+BE2=AE2可得b=3a,據(jù)此可得答案;
(3)連接DG,證△ADF≌△DCG得∠CDG=∠DAF,再證△AFH∽△DFG得,結(jié)合∠AFD=∠HFG,知△ADF∽△HGF,從而得出∠ADF=∠FGH,根據(jù)∠ADF=90°即可得證.
解:(1)如圖1,延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,
∵AD∥CG,
∴∠DAF=∠G,
又∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠EAF,
∴∠G=∠EAF,
∴EA=EG,
∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),
∴CF=DF,
又∵∠DFA=∠CFG,∠FAD=∠G,
∴△ADF≌△GCF(AAS),
∴AD=CG,
∴CG=BC=BE+CE,
∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE;
(2)設(shè)CE=a,BE=b,則AE=2a+b,AB=a+b,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即(a+b)2+b2=(2a+b)2,
解得b=3a,b=﹣a(舍),
∴;
(3)如圖2,連接DG,
∵CG=DF,DC=DA,∠ADF=∠DCG,
∴△ADF≌△DCG(SAS),
∴∠CDG=∠DAF,
∴∠HAF=∠FDG,
又∵∠AFH=∠DFG,
∴△AFH∽△DFG,
∴,
又∵∠AFD=∠HFG,
∴△ADF∽△HGF,
∴∠ADF=∠FGH,
∵∠ADF=90°,
∴∠FGH=90°,
∴AG⊥GH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是矩形AOBC的對(duì)稱中心,A(0,4),B(6,0),若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接十二運(yùn),某校開設(shè)了A:籃球,B:毽球,C:跳繩,D:健美操四種體育活動(dòng),為了解學(xué)生對(duì)這四種體育活動(dòng)的喜歡情況,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生,進(jìn)行問卷調(diào)查(每個(gè)被調(diào)查的同學(xué)必須選擇而且只能在4中體育活動(dòng)中選擇一種).將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成以下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(未畫完整).
(1)這次調(diào)查中,一共查了 名學(xué)生:
(2)請(qǐng)補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖:
(3)若有3名最喜歡毽球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生,1名最喜歡跳繩運(yùn)動(dòng)的學(xué)生組隊(duì)外出參加一次聯(lián)誼互活動(dòng),欲從中選出2人擔(dān)任組長(不分正副),求兩人均是最喜歡毽球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線.
(1)當(dāng)m=3時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)A(1,2).試說明拋物線總經(jīng)過點(diǎn)A;
(3)已知點(diǎn)B(0,2),將點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位長度,得到點(diǎn)C,若拋物線與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A、B兩點(diǎn),AC⊥x軸于點(diǎn)C,CD∥AB交y軸于點(diǎn)D,連接AD、BD,若S△ABD=6,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.k1=﹣6B.k1=﹣3C.k2=﹣6D.k2=﹣12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上的四個(gè)點(diǎn),CD=BC,AC與BD交于點(diǎn)E。
(1)求證:DC2=CE·AC;
(2)若AE=2EC,求之值;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)C作⊙O的切線,交AB的延長線于點(diǎn)H,若S△ACH=,求EC之長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠B=75°,以C為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B落在AB上點(diǎn)D處時(shí),點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,則陰影部分面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于B點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn),在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式
(2)是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖2,F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合),點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn).連接DF,FG,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市為了回慣顧客,計(jì)劃于周年店慶當(dāng)天舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng).凡是購物金額達(dá)到m元及以上的顧客,都將獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).規(guī)則如下:在一個(gè)不透明袋子里裝有除數(shù)字標(biāo)記外其它完全相同的4個(gè)小球,數(shù)字標(biāo)記分別為“a” 、“b”、“c”、“0” (其中正整數(shù)a、b、c滿足a+b+c=30且a>15).顧客先隨機(jī)摸出一球后不放回,再摸出第二球,則兩球標(biāo)記的數(shù)字之和為該顧客所獲獎(jiǎng)勵(lì)金額(單位:元)、經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每日前來購物的顧客中,購物金額及人數(shù)比例如下表所示:
購物金額x (單位:元) | 0<x<100 | 100≤x<200 | 200≤x<300 | x≥300 |
人數(shù)比例 |
現(xiàn)預(yù)計(jì)活動(dòng)當(dāng)天購物人數(shù)將達(dá)到200人.
(1)在活動(dòng)當(dāng)天,某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),試用畫樹狀圖或列表的方法,求該顧客獲得a元獎(jiǎng)勵(lì)金的概率;
(2)以每位抽獎(jiǎng)?lì)櫩退@獎(jiǎng)勵(lì)金的平均數(shù)為決策依據(jù),超市設(shè)定獎(jiǎng)勵(lì)總金額不得超過2000元,且盡可能讓更多的顧客參與抽獎(jiǎng)活動(dòng),問m應(yīng)定為100元?200元?還是300元?請(qǐng)說明理由.
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