Question

【題目】某地有一個(gè)直徑為 14 米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線,在距水池中心 2 米處達(dá)到最高，高度為5米 ，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示以水平方向?yàn)?/span> x 軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

（1）求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高 1.8 米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)?

（3）經(jīng)檢修評(píng)估規(guī)劃，政府決定對(duì)噴水設(shè)施改造成標(biāo)志性建筑，做出如下設(shè)計(jì)改進(jìn)；在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到 42 米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）離水池中心6米以內(nèi)；（3）擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米．

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)（7，0），求出a值，此題得解；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出當(dāng)y＝1.8時(shí)x的值，由此即可得出結(jié)論；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的形狀不變可設(shè)改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)（21，0）可求出b值，再利用配方法將二次函數(shù)表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論．

解：（1）由題意可知，水柱所在拋物線（第一象限部分）的頂點(diǎn)為（2,5），

∴設(shè)水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x2）2＋5（a≠0），
將（7，0）代入y＝a（x2）2＋5，得：25a＋5＝0，
解得：a＝，
∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為：（）；

（2）當(dāng)y＝1.8時(shí)，有，

解得：x1＝2（舍去），x2＝6，
∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心6米以內(nèi)．

（3）當(dāng)x＝0時(shí)，，

設(shè)改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為，

∵水池的直徑擴(kuò)大到 42 米，

∴拋物線經(jīng)過（21,0），

將（21,0）代入得：，

解得：b=4，

∴

∵，

當(dāng)x=10時(shí)，y=最大，

∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米．