Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)GF交AC于F，交AC的平行線(xiàn)BG于G點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EG、EF．

（1）求證：BG＝CF；

（2）請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）BE+CF＞EF，證明詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）先利用ASA判定△BGDCFD，從而得出BG=CF；

（2）利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得到EG=EF，兩邊之和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．

解：（1）∵BG∥AC，

∴∠DBG＝∠DCF．

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD＝CD

又∵∠BDG＝∠CDF，

在△BGD與△CFD中，

∵

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴BG＝CF．

（2）BE+CF＞EF．

∵△BGD≌△CFD，

∴GD＝FD，BG＝CF．

又∵DE⊥FG，

∴EG＝EF（垂直平分線(xiàn)到線(xiàn)段端點(diǎn)的距離相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF．