【題目】如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點C, F, O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD,
解決問題
(1)將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出 的值(用含α的式子表示出來)
【答案】(1)BF=CD,證明見解析;(2)不成立,見解析;(3) .
【解析】
(1)如答圖②所示,連接OC、OD,證明△BOF≌△COD;
(2)如答圖③所示,連接OC、OD,證明△BOF∽△COD,相似比為 ;
(3)如答圖④所示,連接OC、OD,證明△BOF∽△COD,相似比為tan
(1)猜想:BF=CD.理由如下:
如答圖②所示,連接OC、OD.
∵△ABC為等腰直角三角形,點O為斜邊AB的中點,
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF為等腰直角三角形,點O為斜邊EF的中點,
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF與△COD中,
∴△BOF≌△COD(SAS),
∴BF=CD.
(2)答:(1)中的結(jié)論不成立。
如答圖③所示,連接OC、OD.
∵△ABC為等邊三角形,點O為邊AB的中點,
∴ =tan30°= ,∠BOC=90°.
∵△DEF為等邊三角形,點O為邊EF的中點,
∴ =tan30°= ,∠DOF=90°.
∴ = =.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF與△COD中,
∵ = =,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴.
(3)如答圖④所示,連接OC、OD.
∵△ABC為等腰三角形,點O為底邊AB的中點,
∴OBOC=tanα2,∠BOC=90°.
∵△DEF為等腰三角形,點O為底邊EF的中點,
∴ =tan ,∠DOF=90°.
∴ = =tan.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF與△COD中,
∵ = =tan,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴ tan
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.
(1)求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,Q兩點;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,過點P畫PE∥AC交BC邊于E,聯(lián)結(jié)EQ,則四邊形APEQ是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本學(xué)期初,某校為迎接中華人民共和國建國七十周年,開展了以“不忘初心,緬懷革命先烈,奮斗新時代”為主題的讀書活動。校德育處對本校七年級學(xué)生四月份“閱讀該主題相關(guān)書籍的讀書量”(下面簡稱:“讀書量”)進行了隨機抽樣調(diào)查,并對所有隨機抽取學(xué)生的“讀書量”(單位:本)進行了統(tǒng)計,如下圖所示:
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)補全上面兩幅統(tǒng)計圖,填出本次所抽取學(xué)生四月份“讀書量”的眾數(shù)為 ;
(2)求本次所抽取學(xué)生四月份“讀書量”的平均數(shù);
(3)已知該校七年級有1200名學(xué)生,請你估計該校七年級學(xué)生中,四月份“讀書量”為5本的學(xué)生人數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校八年級體育科目訓(xùn)練情況,從八年級學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行了一次體育科目測試(把測試結(jié)果分為四個等級:A級:優(yōu)秀;B級:良好;C級:及格;D級:不及格),并將測試結(jié)果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題:
(1)圖1中的度數(shù)是__________,并把圖2條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)抽取的這部分的學(xué)生的體育科目測試結(jié)果的中位數(shù)是在__________級;
(3)依次將優(yōu)秀、良好、及格、不及格記為90分、80分、70分、50分,請計算抽取的這部分學(xué)生體育的平均成績.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校想知道九年級學(xué)生對我國倡導(dǎo)的“一帶一路”的了解程度,隨機抽取部分九年級學(xué)生進行問卷調(diào)查,問卷設(shè)有4個選項(每位被調(diào)查的學(xué)生必選且只選一項):A.非常了解.B.了解.C.知道一點.D.完全不知道.將調(diào)查的結(jié)果繪制如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息,解答下列問題:
(1)求本次共調(diào)查了多少學(xué)生?
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校九年級共有600名學(xué)生,請你估計“了解”的學(xué)生約有多少名?
(4)在“非常了解”的3人中,有2名女生,1名男生,老師想從這3人中任選兩人做宣傳員,請用列表或畫樹狀圖法求出被選中的兩人恰好是一男生一女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某政府工作報告中強調(diào),2019年著重推進鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,做優(yōu)做響湘蓮等特色農(nóng)產(chǎn)品品牌.小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店兩種湘蓮禮盒一個月的銷售情況,A種湘蓮禮盒進價72元/盒,售價120元/盒,B種湘蓮禮盒進價40元/盒,售價80元/盒,這兩種湘蓮禮盒這個月平均每天的銷售總額為2800元,平均每天的總利潤為1280元.
(1)求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒?
(2)小亮調(diào)査發(fā)現(xiàn),種湘蓮禮盒售價每降3元可多賣1盒.若種湘蓮禮盒的售價和銷量不變,當種湘蓮禮盒降價多少元/盒時,這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大,最大是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動,他們制訂了測量方案,并利用課余時間完成了實地測量.他們在旗桿底部所在的平地上,選取兩個不同測點,分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離.為了減小測量誤差,小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時,都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果,測量數(shù)據(jù)如下表(不完整)
任務(wù)一:兩次測量A,B之間的距離的平均值是 m.
任務(wù)二:根據(jù)以上測量結(jié)果,請你幫助“綜合與實踐”小組求出學(xué)校學(xué)校旗桿GH的高度.
(參考數(shù)據(jù):sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
任務(wù)三:該“綜合與實踐”小組在定制方案時,討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案,但未被采納.你認為其原因可能是什么?(寫出一條即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)(探究發(fā)現(xiàn))
如圖1,的頂點在正方形兩條對角線的交點處,,將繞點旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,的兩邊分別與正方形的邊和交于點和點(點與點,不重合).則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)(類比應(yīng)用)
如圖2,若將(1)中的“正方形”改為“的菱形”,其他條件不變,當時,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請猜想結(jié)論并說明理由.
(3)(拓展延伸)
如圖3,,,,平分,,且,點是上一點,,求的長.
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