Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過原點，且與x軸相交于點A，點A的橫坐標為6，拋物線頂點為點B．

（1）求這條拋物線的表達式和頂點B的坐標；

（2）過點O作OP∥AB，在直線OP上點取一點Q，使得∠QAB=∠OBA，求點Q的坐標；

（3）將該拋物線向左平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線與y軸負半軸相交于點C且頂點仍然在第四象限，此時點A移動到點D的位置，CB：DB=3：4，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（x-3）2-4，頂點B的坐標是（3，-4）；（2）（3）

【解析】

（1）將點O，點A坐標代入解析式可求拋物線的表達式和頂點B的坐標；

（2）由點A，點B坐標可求直線AB解析式，即可求直線OP解析式為：y=x，設點Q（3k，4k），可證四邊形OQAP為等腰梯形，可得OB=QA，由兩點距離公式可求k的值，即可求點Q坐標；

（3）過點B分別做作x、y軸垂線，垂足分別為點E、F，由題意可證△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得關于m的方程，即可求m的值．

（1）∵點O（0，0）、A（6，0）在拋物線上

∴，

解得

∴拋物線的解析式為=（x-3）2-4，

∴頂點B的坐標是（3，-4）

（2）如圖，

∵A（6，0），B（3，-4）

∴直線AB解析式為：y=x-8

∵OP∥AB

∴直線OP解析式為：y=x

設點Q（3k，4k），

∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，

∴k＞0

∵OP平行于AB，QA不平行于OB

∴四邊形OQAP為梯形

又∵∠QAB=∠OBA

∴四邊形OQAP為等腰梯形

∴QA=OB

∴（6-3k）2+（4k）2=25

∴或k=-1（舍去）

∴

（3）由（1）知

設拋物線向左平移m（m＞0）個單位后的新拋物線表達式為

∵新拋物線與y軸負半軸相交于點C且頂點仍然在第四象限，設點C的坐標為C（0，c）

∴0＜m＜3，-4＜c＜0，

如圖，過點B分別做作x、y軸垂線，垂足分別為點E、F

∴，且∠BFC=∠BED=90°

∴△BCF∽△BDE

∴

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴或者m2=3（舍去）

∴