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【題目】如圖,在中,(圓心內部)經過兩點,交線段于點直徑于點關于直線的對稱點落在上.連結

求證:

在圓心的運動過程中,

,求的長.

若點關于的對稱點落在邊上時,求的值.(直接寫出答案)

與邊的另一個交點為,連結于點,垂足為點求證:

【答案】1)證明見解析;(2)①;②;(3)證明見解析.

【解析】

1)由對稱的性質可得∠A=∠BFD,結合∠BFD=∠C,即可推出結論;

2)①先證∠DFE為直角,設,再用含a的代數式分別將FEDE,EC表示出來,根據列方程即可求出CE的長;

②分兩種情況討論,當點F關于AC的對稱點落在BF邊上時,連接DO,設FF'AC于點M,證明BDBE,BOD是等腰直角三角形,即可求出結果;當點F關于AC的對稱點落在BE邊上時,點F'與點O重合,證明DOF為等邊三角形,在RtDOE中,利用銳角三角函數即可求出結果;

3)如圖作輔助線,先證明QBG≌△ECM,推出BQCE,再證明DQDPAD即可.

解:(1關于直線對稱,

,

;

2)①關于直線對稱,

,

,

是直徑,

由圓的軸對稱性可知:,

,

,

,

,則,

,

,

解得:,

;

②如圖1,當點F關于AC的對稱點落在BF邊上時,連接DO,設FF'AC于點M,則AC垂直平分FF'

由(1)知,∠A=∠C45°,∠ABC90°,

BABC,∠ABM=∠CBM45°,

∵點A,F關于直線BD對稱,

ADDF,ABFB

又∵DBDB,

∴△ABD≌△FBDSSS),

∴∠ABD=∠FBD,

BFE≌△BCE

∴∠FBE=∠CBE,

∴∠ABD=∠FBD=∠FBE=∠CBE22.5°,

∴∠DBE=∠DBF+∠EBF45°

ODOB,

∴∠OBD=∠ODB45°

∴∠DOB90°,

BDMBEM中,∠BDM=∠BEM90°22.5°67.5°,

BDBE,

在等腰RtBOD中,設OBODr,則BD

BE,OE,

;

如圖2,當點F關于AC的對稱點落在BE邊上時,

∵∠DF'E=∠DFE90°,∠DOB90°

∴點F'與點O重合,

連接OF,則ODOFDF

∴△DOF為等邊三角形,

∴∠ODF60°,

∴∠ODE=∠FDE30°

RtDOE中,tanODEtan30°,

綜上所述,的值為;

3)連結FC于點,

,

PC是直徑,

是等邊三角形,

,

,

,

,

,

,

,

,

,,

,

練習冊系列答案
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