Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于 兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，已知，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)是拋物線上位于軸下方的一點(diǎn)，且，求的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），，，

【解析】

（1）將點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式，建立關(guān)于a，c的方程組，解方程組求出a，c的值，就可得到拋物線的解析式.（2）由y=0，求出對應(yīng)的x的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可求出AB的長，再由x=0求出對應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式求出△ABC的面積，利用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)解析式，過點(diǎn)E作x軸的垂線交lAC于點(diǎn)F，利用函數(shù)解析式設(shè)點(diǎn)F，E的坐標(biāo)，利用已知條件建立關(guān)于a的方程，解方程求出a的值，即可得到符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo).（3）利用等腰三角形的判定，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)A為等腰△PAC的頂點(diǎn)時，AC=AP；當(dāng)點(diǎn)C為等腰△PAC的頂點(diǎn)時，CA=CP；當(dāng)點(diǎn)P為等腰△PAC的頂點(diǎn)時，CA=CP， 分別求出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入 ，

可得，解得 ，

拋物線解析式： ；

（2）當(dāng)時， ，

解方程，得 ，

，

，

當(dāng)時， ，

，

，

設(shè)，將點(diǎn)代入 ，

得，解得 ，

，

如圖1，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn) ，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，其中 ，

，

由 ，

可得或 ，

解得：（舍）， ，

；

（3）情形一：當(dāng)點(diǎn)為等腰的頂點(diǎn)時，，如圖2，

，

，

點(diǎn) ；

情形二：當(dāng)點(diǎn)為等腰的頂點(diǎn)時，,如圖3，

，

；

情形三：當(dāng)點(diǎn)為等腰的頂點(diǎn)時，，如圖4，

過線段的中點(diǎn)作垂線交軸于點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ，

，

，

又 ，

，

，

當(dāng)時， ，

；

綜上所述：，，，.