【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點C的坐標為(0,﹣2),交x軸于A、B兩點,其中A(﹣1,0),直線l:x=m(m>1)與x軸交于D.

(1)求二次函數(shù)的解析式和B的坐標;
(2)在直線l上找點P(P在第一象限),使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似,求點P的坐標(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,在拋物線上是否存在第一象限內的點Q,使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形?如果存在,請求出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為C(0,﹣2),

∴b=0,c=﹣2;

∵y=ax2+bx+c過點A(﹣1,0),

∴0=a+0﹣2,a=2,

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣2.

當y=0時,2x2﹣2=0,

解得x=±1,

∴點B的坐標為(1,0)


(2)

解:設P(m,n).

∵∠PDB=∠BOC=90°,

∴當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時,分兩種情況:

① 若△OCB∽△DBP,則 ,

= ,

解得n=

由對稱性可知,在x軸上方和下方均有一點滿足條件,

∴此時點P坐標為(m, )或(m, ),

∵點P在第一象限,

∴點P的坐標為(m,

②若△OCB∽△DPB,則 ,

= ,

解得n=2m﹣2.

由對稱性可知,在x軸上方和下方均有一點滿足條件,

∴此時點P坐標為(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m),

∵P在第一象限,m>1,

∴點P的坐標為(m,2m﹣2)

綜上所述,滿足條件的點P的坐標為:(m, ),(m,2m﹣2)


(3)

解:方法一:

假設在拋物線上存在第一象限內的點Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形.

如圖,過點Q作QE⊥l于點E.

∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°,

∴∠DBP=∠QPE.

在△DBP與△EPQ中,

,

∴△DBP≌△EPQ,

∴BD=PE,DP=EQ.

分兩種情況:

①當P(m, )時,

∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2),

,

解得 (均不合題意舍去);

②當P(m,2(m﹣1))時,

∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2),

,

解得 , (均不合題意舍去);

綜上所述,不存在滿足條件的點Q.

方法二:

若在第一象限內存在點Q,

①∵B(1,0),P(m, ),

點Q可視為點B繞點P順時針旋轉90°而成,

將點P平移至原點,得P′(0,0),則點B′(1﹣m, ),

將點B′順時針旋轉90°,則點Q′( ,m﹣1),

將點P′平移回P(m, ),則點Q′平移后即為點Q,

∴Q( ),

將點Q代入拋物線得:m2﹣m=0,

∴m1=1,m2=0,

∴Q1(1,0),Q2(0,﹣ )(均不合題意舍去),

②∵B(1,0),P(m,2m﹣2),

同理可得Q(2﹣m,3m﹣3),

將點Q代入拋物線得:3m﹣3=2(2﹣m)2﹣2,

∴2m2﹣11m+9=0,

∴m1=1,m2= ,

∴Q1(1,0),Q2(﹣ )(均不合題意舍去)

綜上所述,不存在滿足條件的點Q.


【解析】(1)由于拋物線的頂點C的坐標為(0,﹣2),所以拋物線的對稱軸為y軸,且與y軸交點的縱坐標為﹣2,即b=0,c=﹣2,再將A(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值,由此確定該拋物線的解析式,然后令y=0,解一元二次方程求出x的值即可得到點B的坐標;(2)設P點坐標為(m,n).由于∠PDB=∠BOC=90°,則D與O對應,所以當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時,分兩種情況討論:①△OCB∽△DBP;②△OCB∽△DPB.根據(jù)相似三角形對應邊成比例,得出n與m的關系式,進而可得到點P的坐標;(3)假設在拋物線上存在第一象限內的點Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形.過點Q作QE⊥l于點E.利用AAS易證△DBP≌△EPQ,得出BD=PE,DP=EQ.再分兩種情況討論:①P(m, );②P(m,2(m﹣1)).都根據(jù)BD=PE,DP=EQ列出方程組,求出x與m的值,再結合條件x>0且m>1即可判斷不存在第一象限內的點Q,使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形.
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質,需要了解二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

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