【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交線段BC,AC于點D,E,過點D作DF⊥AC,垂足為F,線段FD,AB的延長線相交于點G.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若CF=1,DF= ,求圖中陰影部分的面積.
【答案】
(1)證明:連接AD、OD,如圖所示.
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AC=AB,
∴點D為線段BC的中點.
∵點O為AB的中點,
∴OD為△BAC的中位線,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切線
(2)解:在Rt△CFD中,CF=1,DF= ,
∴tan∠C= = ,CD=2,
∴∠C=60°,
∵AC=AB,
∴△ABC為等邊三角形,
∴AB=4.
∵OD∥AC,
∴∠DOG=∠BAC=60°,
∴DG=ODtan∠DOG=2 ,
∴S陰影=S△ODG﹣S扇形OBD= DGOD﹣ πOB2=2 ﹣ π.
【解析】(1)連接AD、OD,由AB為直徑可得出點D為BC的中點,由此得出OD為△BAC的中位線,再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出OD⊥DF,從而證出DF是⊙O的切線;(2)CF=1,DF= ,通過解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,從而得出△ABC為等邊三角形,再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、扇形面積的計算以及三角形面積的計算,解題的關(guān)鍵是:(1)證出OD⊥DF;(2)利用分割圖形求面積法求出陰影部分的面積.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,利用分割圖形求面積法求面積是解題的難點,在日常練習(xí)中應(yīng)加強訓(xùn)練.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點E、F在四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上,且BE=DF,AE∥CF,請再添加一個條件(不要在圖中再增加其它線段和字母),能證明四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的想法.
你所添加的條件:____________________________________;
證明:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD∥BC,AB=4cm,BC=8cm,動點M從點D出發(fā),按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動,動點N從點D出發(fā),按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動.
(1)若動點M、N同時出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇?
(2)若點E在線段BC上,且BE=3cm,若動點M、N同時出發(fā),相遇時停止運動,經(jīng)過幾秒鐘,點A、E、M、N組成平行四邊形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,點P自點A向D以1cm/s的速度運動,到D點即停止.點Q自點C向B以2cm/s的速度運動,到B點即停止,直線PQ截梯形為兩個四邊形.問當(dāng)P,Q同時出發(fā),幾秒時其中一個四邊形為平行四邊形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為(6,0),點C坐標(biāo)為(0,6),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.
(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);
(2)點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo);
(3)若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:或或)
張老師啟發(fā)同學(xué)們進行變式,小敏編了如下一題:
變式 等腰三角形中,,求的度數(shù).
(1)請你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),的度數(shù)不同,得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中,設(shè),當(dāng)有三個不同的度數(shù)時,請你探索的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自學(xué)下面材料后,解答問題.
分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式.如:;等.那么如何求出它們的解集呢?根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知:兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù).其字母表達式為:
(1)若>0,>0,則>0;若<0,<0,則>0;
(2)若>0,<0,則<0;若<0,>0,則<0.
反之:(1)若>0,則或
(2)若<0,則__________或__________.
(3)根據(jù)上述規(guī)律,求不等式的解集.
(4)試求不等式的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)活動課上,小明提出這樣一個問題:∠B=∠C=90°,E是BC的中點,DE平分∠ADC,如圖.大家一起熱烈地討論交流,小英第一個得出如下結(jié)論:(1)AE平分∠DAB;(2)△EBA≌△DCE;(3)AB+CD=AD;(4)AE⊥DE;(5)AB∥CD.其中正確的結(jié)論是_____.(將你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)
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