【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點B坐標為(6,0),點C坐標為(0,6),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標;
(2)點F是拋物線上的動點,當∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標;
(3)若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在平面內,以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點Q的坐標.

【答案】
(1)

解:將點B(6,0)、C(0,6)代入y=﹣ x2+bx+c中,

得: ,解得: ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x+6.

∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ (x﹣2)2+8,

∴點D的坐標為(2,8).


(2)

解:設線段BF與y軸交點為點F′,設點F′的坐標為(0,m),如圖1所示.

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE,∠F′OB=∠BED=90°,

∴△F′BO∽△BDE,

∵點B(6,0),點D(2,8),

∴點E(2,0),BE=6﹣4=4,DE=8﹣0=8,OB=6,

∴OF′= OB=3,

∴點F′(0,3)或(0,﹣3).

設直線BF的解析式為y=kx±3,

則有0=6k+3或0=6k﹣3,

解得:k=﹣ 或k= ,

∴直線BF的解析式為y=﹣ x+3或y= x﹣3.

聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得: ①或 ②,

解方程組①得: (舍去),

∴點F的坐標為(﹣1, );

解方程組②得: (舍去),

∴點F的坐標為(﹣3,﹣ ).

綜上可知:點F的坐標為(﹣1, )或(﹣3,﹣


(3)

解:設對角線MN、PQ交于點O′,如圖2所示.

∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱,且四邊形MPNQ為正方形,

∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點,點Q在拋物線對稱軸上,

設點Q的坐標為(2,2n),則點M的坐標為(2﹣n,n).

∵點M在拋物線y=﹣ x2+2x+6的圖象上,

∴n=﹣ +2(2﹣n)+6,即n2+2n﹣16=0,

解得:n1= ﹣1,n2=﹣ ﹣1.

∴點Q的坐標為(2,2 ﹣2)或(2,﹣2 ﹣2).


【解析】(1)由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點式即可得出結論;(2)設線段BF與y軸交點為點F′,設點F′的坐標為(0,m),由相似三角形的判定及性質可得出點F′的坐標,根據(jù)點B、F′的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式,聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組,解方程組即可求出點F的坐標;(3)設對角線MN、PQ交于點O′,如圖2所示.根據(jù)拋物線的對稱性結合正方形的性質可得出點P、Q的位置,設出點Q的坐標為(2,2n),由正方形的性質可得出點M的坐標為(2﹣n,n).由點M在拋物線圖象上,即可得出關于n的一元二次方程,解方程可求出n值,代入點Q的坐標即可得出結論.本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質、正方形的性質及解一元二次方程,解題的關鍵是:(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)求出直線BF的解析式;(3)得出關于n的一元二次方程.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,找出點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識,掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形,以及對相似三角形的性質的理解,了解對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

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