【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O是原點,矩形OABC的頂點Ax軸的正半軸上,頂點Cy的正半軸上,點B的坐標(biāo)是(5,3),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一個交點是點D,連接BD.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點M是拋物線對稱軸上的一點,以M、B、D為頂點的三角形的面積是6,求點M的坐標(biāo);

(3)點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動,同時點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動,當(dāng)點P到達點B時,P、Q同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形?請直接寫出所有符合條件的值.

【答案】(1)y=x2x+3;(2)M的坐標(biāo)為(3,)或(3,);(3)當(dāng)t= ,t=t=時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.

【解析】

(1)求出點A、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(2)如答圖1所示,關(guān)鍵是求出MG的長度,利用面積公式解決;注意,符合條件的點M2個,不要漏解;

(3)△DPQ為等腰三角形,可能有三種情形,需要分類討論:

①若PD=PQ,如答圖2所示;

②若PD=DQ,如答圖3所示;

③若PQ=DQ,如答圖4所示.

(1)∵矩形ABCD,B(5,3),

∴A(5,0),C(0,3).

∵點A5,0),C0,3)在拋物線y=x2+bx+c上,

,解得:b=,c=3.

拋物線的解析式為:y=x2x+3.

(2)如答圖1所示,

∵y=x2x+3=(x﹣3)2,

拋物線的對稱軸為直線x=3.

如答圖1所示,設(shè)對稱軸與BD交于點G,與x軸交于點H,則H(3,0).

y=0,即x2x+3=0,解得x=1x=5.

∴D(1,0),∴DH=2,AH=2,AD=4.

tanADB=,∴GH=DHtanADB=2×,

∴G(3,).

∵SMBD=6,即SMDG+SMBG=6,

MGDH+MGAH=6,

即:MG×2+MG×2=6,

解得:MG=3.

M的坐標(biāo)為(3,)或(3,-).

3)在RtABD中,AB=3,AD=4,則BD=5,∴sinB=,cosB=

D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形,則:

PD=PQ,如答圖2所示:

此時有PD=PQ=BQ=t,過點QQE⊥BD于點E,

BE=PE,BE=BQcosB=t,QE=BQsinB=t,

∴DE=t+t=t.

由勾股定理得:DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2,

即(t)2+(t)2=42+(3﹣t)2

整理得: t2+6t﹣25=0,

解得:t=t=﹣5(舍去),

∴t=

PD=DQ,如答圖3所示:

此時PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t,

∴t=7﹣t,

t=

PQ=DQ,如答圖4所示:

∵PD=t,∴BP=5﹣t;

∵DQ=7﹣t,∴PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3.

過點PPF⊥AB于點F,則PF=PBsinB=(5﹣t)×=4﹣t,BF=PBcosB=(5﹣t)×=3﹣t.

∴AF=AB﹣BF=3﹣(3﹣t)=t.

過點PPE⊥AD于點E,則PEAF為矩形,

∴PE=AF=t,AE=PF=4﹣t,∴EQ=AQ﹣AE=(t﹣3)﹣(4﹣t)=t﹣7.

Rt△PQE中,由勾股定理得:EQ2+PE2=PQ2,

即:(t﹣7)2+(t)2=(7﹣t)2,

整理得:13t2﹣56t=0,

解得:t=0(舍去)或t=

∴t=

綜上所述,當(dāng)t=,t=t=時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.

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