Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4，0)、B(﹣1，0)，其頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線C1的表達(dá)式；

（2）將拋物線C1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式；

（3）再將拋物線C2沿x軸向右平移得到拋物線C3，設(shè)拋物線C3與x軸分別交于點(diǎn)E、F(E在F左側(cè))，頂點(diǎn)為G，連接AG、DF、AD、GF，若四邊形ADFG為矩形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y；（2）；（3）E(，0)．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)頂點(diǎn)式將點(diǎn)B坐標(biāo)代入求解即可；

（2）由拋物線C1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2知拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后拋物線C2開口朝下，且形狀不變即可確定其表達(dá)式；

（3）作GK⊥x軸于G，DH⊥AB于H，由題意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，結(jié)合矩形的性質(zhì)利用兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似可證△AGK∽△GFK，由其對(duì)應(yīng)線段成比例的性質(zhì)可知AK長(zhǎng)，結(jié)合A、B點(diǎn)坐標(biāo)可知BK、BE、OE長(zhǎng)，可得點(diǎn)E坐標(biāo).

解：（1）∵拋物線C1的頂點(diǎn)為，

∴可設(shè)拋物線C1的表達(dá)式為y，

將B(﹣1，0)代入拋物線解析式得：，

∴，

解得：a，

∴拋物線C1的表達(dá)式為y，即y．

（2）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

∵拋物線C1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線C2，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B(﹣1，0)對(duì)稱

∴拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

可設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y

∵拋物線C2開口朝下，且形狀不變

∴拋物線C2的表達(dá)式為y，即．

（3）如圖，作GK⊥x軸于G，DH⊥AB于H．

由題意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，

∵四邊形AGFD是矩形，

∴∠AGF=∠GKF=90°，

∴∠AGK+∠KGF=90°，∠KGF+∠GFK=90°，

∴∠AGK=∠GFK．

∵∠AKG=∠FKG=90°，

∴△AGK∽△GFK，

∴，

∴，

∴AK=6，

，

∴BE=BK﹣EK=3，

∴OE，

∴E(，0)．