【題目】如圖,已知Rt△ACE中,∠AEC=90°,CB平分∠ACE交AE于點B,AC邊上一點O,⊙O經(jīng)過點B、C,與AC交于點D,與CE交于點F,連結(jié)BF。
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若,AE=8,求⊙O的半徑;
(3)在(2)條件下,求BF的長。
【答案】(1)證明見解析 (2) (3)
【解析】
(1) 連接OB,根據(jù)OB=OC得出∠1=∠2,再根據(jù)CB平分∠ACE,得出∠2=∠3,再利用平行線的性質(zhì)求解即可;(2) 連接DF,根據(jù)同弧所對圓周角相等得出∠CDF=∠CBF,再利用直徑所對的圓周角為90°,得出∠DFC=90°,由OB//CE,得出△AOB∽△ACE,利用相似三角形的性質(zhì),列出方程求解即可;(3) 先證出△ACB∽△BCF,再利用相似三角形的性質(zhì)得出=,進(jìn)而求出結(jié)果.
(1)證明:如圖1,連接OB,
∵OB=OC,∴∠1=∠2,
∵CB平分∠ACE,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,∴OB∥CE,
∴∠ABO=∠AEC=90°,即OB丄AE,
∴AE是⊙0的切線;
(2)如圖2,連接DF,
∵∠CDF和∠CBF是同弧所對圓周角,
∴∠CDF=∠CBF,
∵CD是⊙O的直徑,∴∠DFC=90°,
∴DF//AE,∴∠A=∠CDF,∴∠A=∠CBF,
∵cos∠CBF=,∴cosA=,
在Rt△ACE中AE=8,∴AC=10,CE=6,
由(1)可知OB//CE,∴△AOB∽△ACE,
∴,
設(shè)⊙O的半徑為x,則,
解得x=,∴⊙O的半徑為;
(3)在Rt△AOB中AO=10-=,cos A=,∴AB=5,
在Rt△DCF中CD=,cos∠CDF=cos∠CBF=,∴CF=,
∵∠A=∠CBF,∠2=∠3,
∴△ACB∽△BCF,
∴=,
∴,
解得,BC=,BF=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象,發(fā)生折射時,滿足的折射定律如圖①所示:折射率(代表入射角,代表折射角).小明為了觀察光線的折射現(xiàn)象,設(shè)計了圖②所示的實驗;通過細(xì)管可以看見水底的物塊,但從細(xì)管穿過的直鐵絲,卻碰不上物塊,圖③是實驗的示意圖,點A,C,B在同一直線上,測得,則光線從空射入水中的折射率n等于________.
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【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱,…,如此作下去,則△B2018A2019B2019的頂點A2019的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點 , ,將直線平移與雙曲線在第一象限的圖象交于、兩點.
(1)如圖1,將繞逆時針旋轉(zhuǎn)得與對應(yīng),與對應(yīng)),在圖1中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形并直接寫出、坐標(biāo);
(2)若,
①如圖2,當(dāng)時,求的值;
②如圖3,作軸于點,軸于點,直線與雙曲線有唯一公共點時,的值為 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點,動點P在線段上以每秒2個單位長度的速度由點運動到點停止,設(shè)運動時間為,過點作軸的垂線,交直線于點, 交拋物線于點.連接,是線段的中點,將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接,當(dāng)為何值時,面積有最大值,最大值是多少?
(3)當(dāng)為何值時,點落在拋物線上.
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【題目】已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(2,-3).
(1)求這個函數(shù)的表達(dá)式.
(2)點(-1,6),(3,2)是否在這個函數(shù)的圖像上?
(3)這個函數(shù)的圖像位于哪些象限?函數(shù)值y隨自變量的增大如何變化?
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點在第一象限,且過點(0,1)和(﹣1,0),下列結(jié)論:①ab<0,②b2﹣4ac>0,③a﹣b+c<0,④c=1,⑤當(dāng)x>﹣1時,y>0.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點,與y軸交于點D,已知A(1,4),B(3,0).
(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)探究:如圖1,連接OA,作DE∥OA交BA的延長線于點E,連接OE交AD于點F,M是BE的中點,則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分?請說明理由;
(3)應(yīng)用:如圖2,P(m,n)是拋物線在第四象限的圖象上的點,且m+n=﹣1,連接PA、PC,在線段PC上確定一點M,使AN平分四邊形ADCP的面積,求點N的坐標(biāo).提示:若點A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),則線段AB的中點坐標(biāo)為(,).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C1經(jīng)過點A(﹣4,0)、B(﹣1,0),其頂點為.
(1)求拋物線C1的表達(dá)式;
(2)將拋物線C1繞點B旋轉(zhuǎn)180°,得到拋物線C2,求拋物線C2的表達(dá)式;
(3)再將拋物線C2沿x軸向右平移得到拋物線C3,設(shè)拋物線C3與x軸分別交于點E、F(E在F左側(cè)),頂點為G,連接AG、DF、AD、GF,若四邊形ADFG為矩形,求點E的坐標(biāo).
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