Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰的底邊在軸上，，頂點(diǎn)在的正半軸上，，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．已知點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以為邊作正方形，使正方形和在的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．

（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；

（2）設(shè)正方形與重疊面積為，請問是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，取的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)點(diǎn)、開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．請問在點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)可能在正方形內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）的時(shí)長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由見解析；（3）可能，或或理由見解析

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)題意用t表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入求解即可；

（2）根據(jù)已知，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)前，重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積，即不存在t，使重疊面積為，故t﹥4,用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，求出點(diǎn)H落在BC邊上時(shí)的t值，求出此時(shí)重疊面積為﹤，進(jìn)一步求出重疊面積關(guān)于t的表達(dá)式，代入解t的方程即可解得t值；

（3）由已知求得點(diǎn)D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,結(jié)合圖形分情況討論即可得出符合條件的時(shí)長．

（1）由題意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入，得：

，解得：，

∴直線AC的函數(shù)解析式為，

當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，點(diǎn)E(3-t，0)，點(diǎn)H（3-t，1），

將點(diǎn)H代入，得：

，解得：t=1；

（2）存在，，使得．

根據(jù)已知，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)前，重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積，即不存在t，使重疊面積為，故t﹥4，

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n，

將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，得：

，解得：，

∴直線AC的函數(shù)解析式為，

當(dāng)t﹥4時(shí)，點(diǎn)E（3-t，0）點(diǎn)H（3-t，t-3），G(0，t-3)，

當(dāng)點(diǎn)H落在AB邊上時(shí)，將點(diǎn)H代入，得：

，解得：；

此時(shí)重疊的面積為，

∵﹤，∴﹤t﹤5，

如圖1，設(shè)GH交AB于S，EH交AB于T,

將y=t-3代入得：，

解得：x=2t-10，

∴點(diǎn)S(2t-10，t-3)，

將x=3-t代入得：，

∴點(diǎn)T，

∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，

,

所以重疊面積S==4--=，

由=得：，﹥5(舍去)，

∴；

（3）可能，≤t≤1或t=4．

∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，且OA=2,OC=4，

∴點(diǎn)D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,

易知M點(diǎn)在水平方向以每秒是4個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)0﹤t﹤時(shí)，M在線段OD上，H未到達(dá)D點(diǎn)，所以M與正方形不相遇；

當(dāng)﹤t﹤1時(shí)， +÷（1+4）=秒，

∴時(shí)M與正方形相遇，經(jīng)過1÷（1+4）=秒后，M點(diǎn)不在正方行內(nèi)部，則；

當(dāng)t=1時(shí)，由（1）知，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原E點(diǎn)處，M點(diǎn)到達(dá)C處；

當(dāng)1≤t≤2時(shí)，當(dāng)t=1+1÷（4-1）=秒時(shí)，點(diǎn)M追上G點(diǎn)，經(jīng)過1÷（4-1）=秒，點(diǎn)都在正方形內(nèi)（含邊界），

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)O處停止運(yùn)動(dòng)，

當(dāng) t=3時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)O處, 當(dāng) t=4時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)O處,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)都在正方形內(nèi)（含邊界），

綜上，當(dāng)或或時(shí)，點(diǎn)可能在正方形內(nèi)（含邊界）．