Question

【題目】如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn).

（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn),

①求證：；

②若，，求的度數(shù)．

（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

②直接寫(xiě)出的最小值．

Answer 1

【答案】（2）①證明見(jiàn)解析；②30°；（3）①AE的長(zhǎng)為或；②．

【解析】

（2）①由矩形性質(zhì)得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根據(jù)勾股數(shù)得BC2+EC2=AC2，又因?yàn)?/span>AD=BC，即得CE=CD．
②設(shè)∠CED=α，根據(jù)∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三個(gè)內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和180°為等量關(guān)系列方程，即求出α進(jìn)而求出∠ADE．
（3）由條件“點(diǎn)C是△ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)”仍可得CE=CD=5，作為條件使用．①△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫(huà)圖再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理計(jì)算，即能求AE的長(zhǎng)．②在CB上截取CH= ，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等構(gòu)造△ECH∽△BCE，把BE轉(zhuǎn)化為EH，所以當(dāng)點(diǎn)A、E、H在同一直線上時(shí)，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．

解：（2）①證明：∵點(diǎn)C是△ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)
∴CA2=CB2+CE2
∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2
∴CB2+CE2=CB2+CD2
∴CE=CD
②設(shè)∠CED=α，則∠CDE=∠CED=α
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°
∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE
∴∠DAE=∠DEA=135°-α
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°
解得：α=60°
∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8
∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵點(diǎn)C是△ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)
∴CE=CD=5
i）如圖1，若DE=DA，則DE=8

過(guò)點(diǎn)E作MN⊥AB于點(diǎn)M，交DC于點(diǎn)N
∴∠AME=∠MND=90°
∴四邊形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN
設(shè)AM=DN=x，則CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2
∴82-x2=52-（5-x）2
解得：x=
∴EN= ，AM=DN=
∴ME=MN-EN=8-,

∴Rt△AME中，AE=
ii）如圖2，若AE=DE，則E在AD的垂直平分線上

過(guò)點(diǎn)E作PQ⊥AD于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q
∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四邊形CDPQ是矩形
∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ=＝3
∴PE=PQ-EQ=2

∴Rt△APE中，AE=
iii）如圖3，若AE=AD=8，則AE2+CE2=AD2+CD2=AC2
∴∠AEC=90°
取AC中點(diǎn)O，則點(diǎn)A、B、C、D在以O為圓心、OA為半徑的⊙O上
∴點(diǎn)E也在⊙O上
∴點(diǎn)E不在矩形ABCD內(nèi)部，不符合題意
綜上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的長(zhǎng)為或．
②在CB上截取CH= ，連接EH

∴ ,
∵∠ECH=∠BCE
∴△ECH∽△BCE
∴ ,
∴EH=BE
∴AE+BE=AE+EH
∴當(dāng)點(diǎn)A、E、H在同一直線上時(shí)，AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-＝ ,
∴AH=
∴AE+BE的最小值為．