【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知A(–1,0),且直線BC的解析式為y=x-2,作垂直于x軸的直線,與拋物線交于點(diǎn)F,與線段BC交于點(diǎn)E(不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若△CEF是以CE為腰的等腰三角形,求m的值;
(3)點(diǎn)P為y軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作交直線BC于點(diǎn)M,連接PB,若以P、M、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)或;(3)符合條件的點(diǎn)P為P1(-1,0)或
【解析】
(1)將y=0代入y=x-2中,即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)先分別用m表示出點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理分別求出CE2、CF2和EF2,然后根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論,分別求出對(duì)應(yīng)的m值即可;
(3)根據(jù)勾股定理的逆定理證出△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)情況分類討論,利用相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論.
解:(1) 由題意得:
將y=0代入y=x-2中,得x=4
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)
將A(-1,0),B(4,0)代入得
,
解得,
(2)
∴
(i) 若以C為等腰三角形的頂點(diǎn),則CE2=CF2
∴
解得:m1=2,m2=4(不符合前提條件,故舍去);
(ii) 若以E為等腰三角形的頂點(diǎn),則EC2=EF2
∴
解得:(不符合前提條件,故舍去);
綜上:m=2或
(3) ①根據(jù)勾股定理可得:AC==,BC==,AB=5
∴AC2+BC2=25=AB2,
∴△ABC為直角三角形,∠ACB=90°
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,此時(shí)P1(-1,0),
②如圖,當(dāng)△BPM∽△ABC時(shí),
∴∠BPM=∠ABC
過點(diǎn)M作HR∥x軸,作PH⊥HR于點(diǎn)H,BR⊥HR與點(diǎn)R,
∴∠PHM=∠MRB=∠PMB=90°
∴∠HPM+∠PMH=90°,∠RMB+∠PMH=90°
∴∠HPM=∠RMB
∴△PHM∽△MRB
∴
又∵AB//HR
∴
∴
令BR=a,MR=2a
又∵
∴
∴
∴PH=4a,HM=2a,PQ=3a,
又∵點(diǎn)P在拋物線上,將代入
整理,得
解得:(舍),
∴
∴符合條件的點(diǎn)P為P1(-1,0)或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、,若有,則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn).
(1)如圖2,在的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)、、、、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上,則點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn).
(2)如圖3,是矩形內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn),
①求證:;
②若,,求的度數(shù).
(3)如圖3,矩形中,,,是矩形內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn).
①當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);
②直接寫出的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AC平分∠DAB,直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,AD與PC延長(zhǎng)線垂直,垂足為點(diǎn)D,CE平分∠ACB,交AB于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:PC與⊙O相切;
(2)求證:PC=PF;
(3)若AC=8,tan∠ABC=,求線段BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形,點(diǎn)、分別在邊、上,且,把繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,連接交、于點(diǎn)、,連接,并在截取,連接.有如下結(jié)論:
①;
②始終平分;
③;
④;
⑤垂直平分.
上述結(jié)論中,所有正確的個(gè)數(shù)是( )
A.5個(gè)B.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.E為□ABCD邊AD上一點(diǎn),將ABE沿BE翻折得到FBE,點(diǎn)F在BD上,且EF=DF.若∠C=52°,則∠ABE=____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某兒童游樂園推出兩種門票收費(fèi)方式:
方式一:購買會(huì)員卡,每張會(huì)員卡費(fèi)用是元,憑會(huì)員卡可免費(fèi)進(jìn)園次,免費(fèi)次數(shù)用完以后,每次進(jìn)園憑會(huì)員卡只需元;
方式二:不購買會(huì)員卡,每次進(jìn)園是元. (兩種方式每次進(jìn)園均指單人)
設(shè)進(jìn)園次數(shù)為(為非負(fù)整數(shù))
根據(jù)題意,填寫下表:
進(jìn)園次數(shù)(次) | ··· | |||
方式一收費(fèi)(元) | ··· | |||
方式二收費(fèi)(元) | 200 |
設(shè)方式一收費(fèi)元,方式二收費(fèi)元,分別寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)時(shí),哪種進(jìn)園方式花費(fèi)少?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,是的外接圓,為直徑,的平分線交O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作,分別交,的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F.
(1)求證:是的切線;
(2)填空:
①當(dāng)的度數(shù)為_________時(shí),四邊形為菱形;
②若的半徑為,,則的長(zhǎng)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,連接EF,則EF的最小值為_______cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖A、B、C在⊙O上,連接OA、OB、OC,若∠BOC=3∠AOB,劣弧AC的度數(shù)是120o,OC=.則圖中陰影部分的面積是 ( )
A.B.C.D.
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