【題目】直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),以點A為圓心畫圓,點M(4,4)在⊙A上,直線y=﹣x+b過點M,分別交x軸、y軸于B、C兩點.
(1)①填空:⊙A的半徑為 ,b= .(不需寫解答過程)
②判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)若EF切⊙A于點F分別交AB和BC于G、E,且FE⊥BC,求的值.
(3)若點P在⊙A上,點Q是y軸上一點且在點C下方,當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時,直接寫出點Q的坐標(biāo).
【答案】(1) 5,7;(2) 相切,理由見解析;(3) Q的坐標(biāo)是(0,0)或(0,2)或(0,﹣8)或(0,3﹣).
【解析】
(1)①連接AM,過M作MQ⊥x軸于Q,求出AQ、QM,根據(jù)勾股定理求出AM即可;把M的坐標(biāo)代入解析式,求出b即可;②求出B、C的坐標(biāo),證△AQM和△BQM相似,推出∠MAQ=∠BMQ,推出∠AMB=90°即可;
(2)設(shè)EG=a,根據(jù)勾股定理求出BC、AC、CM的值,根據(jù)△BEG和△BOC相似,求出BE的值,根據(jù)△BEG和△AFG相似,求出GF的值,根據(jù)BC=BE+EM+CM,代入求出a即可;
(3)有三種情況:①當(dāng)∠PQM=90°時,MQ=PQ,根據(jù)軸對稱,得出Q與O重合,即可求出Q的坐標(biāo);②當(dāng)∠PMQ=90°,MQ=MP,作MD⊥x,MH⊥y,證△MHQ≌△MDP,推出P是圓與x正半軸交點,即可求出答案;③當(dāng)∠QPM=90°時,分兩種情況:第一情況:P在y的左方,設(shè)P(m,n),Q(0,b)得出方程①4-m=n-b,②4-n=-m,③(1-m)2+n2=52,解方程組即可求出b;第二情況:P在y的右方,同理能求出b的值.
(1)①解:連接AM,過M作MQ⊥x軸于Q,
則AQ=4﹣1=3,MQ=4,
由勾股定理得:AM==5,
把M(4,4)代入y=﹣x+b得:4=﹣×4+b,
∴b=7,
故答案為:5,7.
②解:相切,
理由是:連接AF,
y=﹣x+7,
當(dāng)x=0時,y=7,∴C(0,7),OC=7,
當(dāng)y=0時,0=﹣x+7,
∴x=,
∴B(,0),OB=,
∴BQ=OB﹣OQ=﹣4=,AQ=4﹣1=3,MQ=4,
∴==,=,
∴=,
∵∠MQA=∠MQB,
∴△AMQ∽△MBQ,
∴∠MAQ=∠BMQ,
∵∠MAQ+∠AMQ=90°,
∴∠AMQ+∠BMQ=90°,
∴AM⊥BC,
∴直線BC與⊙A的位置關(guān)系是相切.
(2)解:連接AC,
在△COB中,由勾股定理得:BC==,
同理AC=5,
∵AM=5,由勾股定理得:CM=5,
設(shè)EG=a,
∵EF⊥BC,
∴∠FEB=∠COB=90°,
∵∠OBC=∠OBC,
∴△BEG∽△BOC,
∴,
即=,
∴BE=a,
∴根據(jù)切線長定理得:EM=EF=BC﹣BE﹣CM=﹣a﹣5,
∵EF⊥CB,AF⊥EF,
∴AF∥BC,
∴△AFG∽△BEG,
∴=,
∴=,
∴FG=,
∵BE+EM+CM=BC,
∴a+a++5=,
a=,
EG=,F(xiàn)G=,
∴==3.
(3)解:①當(dāng)∠PQM=90°時,MQ=PQ,由對稱性M,P關(guān)于X軸對稱,
所以Q,O重合,Q(0,0);
②當(dāng)∠PMQ=90°,MQ=MP,作MD⊥x,MH⊥y,
可得△MHQ≌△MDP,
即P是圓與x正半軸交點
從而Q(0,2);
③當(dāng)∠QPM=90°時,分兩種情況:
第一情況:P在y的左方,如圖,
設(shè)P(m,n),Q(0,b)可得:
①4﹣m=n﹣b,②4﹣n=﹣m,③(1﹣m)2+n2=52,
解方程組得,b=2,b=﹣8(b=2也符合條件,雖與②中b同,但直角不同),
第二情況:P在y的右方,同理得:
①m﹣4=n﹣b,②4﹣n=m,③(1﹣m)2+n2=52,
解方程組得,b=3+(舍),b=3﹣.
綜合上述:Q的坐標(biāo)是(0,0)或(0,2)或(0,﹣8)或(0,3﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB邊中點D到BC邊距離為3 cm,現(xiàn)在AC邊找點E,使BE+ED值最小,則BE+ED的最小值是________cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,E在線段AC上,連接AD, BE的延長線交AD于F.
(1)猜想線段BE、AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系:_______________(不必證明);
(2)當(dāng)點E為△ABC內(nèi)部一點時,使點D和點E分別在AC的兩側(cè),其它條件不變.
①請你在圖2中補(bǔ)全圖形;
②(1)中結(jié)論成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點,其頂點為D,連接BD,點是線段BD上一個動點(不與B、D重合),過點P作y軸的垂線,垂足為E,連接BE.
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標(biāo);
(2)如果P點的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為,求S與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,過點P作x的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點P的對應(yīng)點為P′,請直接寫出P′點坐標(biāo),并判斷點P′是否在該拋物線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O為△ABC的外接圓,AB=AC,直線MN與⊙O相切于點C,弦BD∥MN,AC與BD相交于點E.
(1)求證:△ABE ≌ △ACD;
(2)若AB = 5,BC = 3,求AE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,分別以AB、AC為對稱軸,畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形,D點的對稱點為E、F,延長EB、FC相交于G點,得到正方形AEGF(AE=EG=GF=AF,∠EAF=∠E=∠F=∠G=90°).
(1) 若AD=6,BD=2,求CG的長.
(2) 設(shè)BG=a,CG=b,BC=c.
①AE=_______.(用a、b、c表示)
②利用正方形面積驗證勾股定理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老,也是最基本的研究對象,它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.樹形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
(1) (思想應(yīng)用)已知m, n均為正實數(shù),且m+n=2求的最小值通過分析,愛思考的小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問題:如圖, AB=2,AC=1,BD=2,AC⊥AB,BD⊥AB,點E是線段AB上的動點,且不與端點重合,連接CE,DE,設(shè)AE=m, BE=n.
①用含m的代數(shù)式表示CE=_______, 用含n的代數(shù)式表示DE= ;
②據(jù)此求的最小值;
(2)(類比應(yīng)用)根據(jù)上述的方法,求代數(shù)式的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°,構(gòu)成的圖形如圖所示.該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”,也被稱作“趙爽弦圖”,它是我國最早對勾股定理證明的記載,也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù).
(1)請利用這個圖形證明勾股定理;
(2)請利用這個圖形說明a2+b2≥2ab,并說明等號成立的條件;
(3)請根據(jù)(2)的結(jié)論解決下面的問題:長為x,寬為y的長方形,其周長為8,求當(dāng)x,y取何值時,該長方形的面積最大?最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線c和直線b相較于點,直線c過點平行于y軸的動直線a的解析式為,且動直線a分別交直線b、c于點D、在D的上方.
求直線b和直線c的解析式;
若P是y軸上一個動點,且滿足是等腰直角三角形,求點P的坐標(biāo).
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